Метод Гаусса
Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы[1].
История
Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах».
Описание метода
Пусть исходная система выглядит следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lcr} a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\ \ldots & & \\ a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m \\ \end{array}\right. }[/math]
Её можно записать в матричном виде:
- [math]\displaystyle{ Ax = b, }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right),\quad x = \left( \begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right), \quad b = \left( \begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right).\quad (1) }[/math]
Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] называется основной матрицей системы, [math]\displaystyle{ b }[/math] — столбцом свободных членов.
Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{rcl} \alpha_{1j_1}x_{j_1}+\alpha_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{1j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{1j_n}x_{j_n} &=& \beta_1 \\ \alpha_{2j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{2j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{2j_n}x_{j_n} &=& \beta_2 \\ &\ldots& \\ \alpha_{rj_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{rj_n}x_{j_n} &=& \beta_r \\ 0 &=& \beta_{r+1} \\ &\ldots& \\ 0 &=& \beta_m \end{array}\right., }[/math]
где [math]\displaystyle{ \alpha_{1j_1},\ldots,\alpha_{rj_r}\neq 0. }[/math]
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [math]\displaystyle{ x_{j_1},\ldots,x_{j_r} }[/math][2].
Тогда переменные [math]\displaystyle{ x_{j_1},\ldots,x_{j_r} }[/math] называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число [math]\displaystyle{ \beta_i\neq 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ i \gt r }[/math], то рассматриваемая система несовместна, т. е. у неё нет ни одного решения.
Пусть [math]\displaystyle{ \beta_i = 0 }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i \gt r }[/math].
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом [math]\displaystyle{ x }[/math] ([math]\displaystyle{ \alpha_{ij_i},\, i=1,\ldots,r }[/math], где [math]\displaystyle{ i }[/math] — номер строки):
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{rcc} x_{j_1}+\widehat{\alpha}_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{1j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_1-\widehat{\alpha}_{1j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{1j_n}x_{j_n} \\ x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{2j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_2-\widehat{\alpha}_{2j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{2j_n}x_{j_n} \\ &\ldots& \\ x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_r-\widehat{\alpha}_{rj_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{rj_n}x_{j_n} \\ \end{array}\right., \qquad \widehat{\beta}_i=\frac{\beta_i}{\alpha_{ij_i}},\quad \widehat{\alpha}_{ij_k}=\frac{\alpha_{ij_k}}{\alpha_{ij_i}}\quad (2) }[/math],
где [math]\displaystyle{ i=1,\ldots,r,\quad k=i+1,\ldots,n. }[/math]
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
Критерий совместности
Упомянутое выше условие [math]\displaystyle{ \beta_i= 0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i \gt r }[/math] может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:
Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
![]() |
Теорема Кронекера — Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Следствия:
|
Алгоритм
Блок-схема представлена на рисунке. Данный рисунок — адаптированный для написания программы на языке C/C++, где a — расширенная матрица, последний столбец в которой — столбец свободных членов. Количество строк — n.
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Gauss.png&width=300)
Описание
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
- На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. Для этого среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают содержащую его строку в крайнее верхнее положение, делая эту строку первой. Далее ненулевые элементы первого столбца всех нижележащих строк обнуляются путём вычитания из каждой строки первой строки, домноженной на отношение первого элемента этих строк к первому элементу первой строки. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают, пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
- На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Метод Гаусса требует [math]\displaystyle{ O(n^{3}) }[/math] арифметических операций.
Этот метод опирается на:
![]() |
Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. |
Простейший случай
В простейшем случае алгоритм выглядит так:
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lcc} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n} \cdot x_n & = b_1 & (1) \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots + a_{2n} \cdot x_n & = b_2 & (2) \\ \ldots & & \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn} \cdot x_n & = b_m & (m) \end{array}\right. }[/math]
- Прямой ход:
- [math]\displaystyle{ \begin{array}{ccc} (2)\to (2)-(1) \cdot ( \frac {a_{21}}{a_{11}}) &:& a_{22}^{\prime} \cdot x_2 + a_{23}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{2n}^{\prime} \cdot x_n = b_2^{\prime} \\ (3)\to (3)-(1) \cdot ( \frac {a_{31}}{a_{11}}) &:& a_{32}^{\prime} \cdot x_2 + a_{33}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime} \\ \ldots & & \\ (m)\to (m)-(1) \cdot ( \frac {a_{m1}}{a_{11}}) &:& a_{m2}^{\prime} \cdot x_2 + a_{m3}^{\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{mn}^{\prime} \cdot x_n = b_n^{\prime} \\ (3)\to (3)-(2) \cdot ( \frac {a_{32}^{\prime}}{a_{22}^{\prime}}) &:& a_{33}^{\prime\prime} \cdot x_3 + \ldots + a_{3n}^{\prime\prime} \cdot x_n = b_3^{\prime\prime} \\ \ldots & & \\ (m)\to (m)-(m-1) \cdot ( \frac {a_{m,n-1}^{(m-2)}}{a_{m-1,n-1}^{(m-2)}}) &:& a_{mm}^{(m-1)} \cdot x_m + \ldots + a_{mn}^{(m-1)} \cdot x_n = b_m^{(m-1)} \end{array} }[/math]
- Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.
Пример
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ccc}2x + y - z &=& 8 \\ -3x - y + 2z &=& -11 \\ -2x + y + 2z &=& -3 \end{array}\right. }[/math]
Обнулим коэффициенты при [math]\displaystyle{ x }[/math] во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на [math]\displaystyle{ \textstyle\frac{3}{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ 1 }[/math], соответственно:
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{rcc} 2x + y - z &=& 8 \\ \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z &=& 1 \\ 2y + z &=& 5 \end{array}\right. }[/math]
Теперь обнулим коэффициент при [math]\displaystyle{ y }[/math] в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на [math]\displaystyle{ 4 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{rcc} 2x + y - z &=& 8 \\ \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z &=& 1 \\ -z &=& 1 \\ \end{array}\right. }[/math]
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
- [math]\displaystyle{ z = -1 }[/math] из третьего;
- [math]\displaystyle{ y = 3 }[/math] из второго, подставив полученное [math]\displaystyle{ z }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math] из первого, подставив полученные [math]\displaystyle{ z }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math].
Таким образом, исходная система решена.
В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.
Реализация алгоритма на языке программирования C#
namespace Gauss_Method
{
class Maths
{
/// <summary>
/// Метод Гаусса (Решение СЛАУ)
/// </summary>
/// <param name="Matrix">Начальная матрица</param>
/// <returns></returns>
public static double[] Gauss(double[,] Matrix)
{
int n = Matrix.GetLength(0); //Размерность начальной матрицы (строки)
double[,] Matrix_Clone = new double[n, n + 1]; //Матрица-дублер
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n + 1; j++)
Matrix_Clone[i, j] = Matrix[i, j];
// Прямой ход (Зануление нижнего левого угла)
for (int k = 0; k < n; k++) //k-номер строки
{
for (int i = 0; i < n + 1; i++) //i-номер столбца
Matrix_Clone[k, i] = Matrix_Clone[k, i] / Matrix[k, k]; //Деление k-строки на первый член !=0 для преобразования его в единицу
for (int i = k + 1; i < n; i++) //i-номер следующей строки после k
{
double K = Matrix_Clone[i, k] / Matrix_Clone[k, k]; //Коэффициент
for (int j = 0; j < n + 1; j++) //j-номер столбца следующей строки после k
Matrix_Clone[i, j] = Matrix_Clone[i, j] - Matrix_Clone[k, j] * K; //Зануление элементов матрицы ниже первого члена, преобразованного в единицу
}
for (int i = 0; i < n; i++) //Обновление, внесение изменений в начальную матрицу
for (int j = 0; j < n + 1; j++)
Matrix[i, j] = Matrix_Clone[i, j];
}
// Обратный ход (Зануление верхнего правого угла)
for (int k = n - 1; k > -1; k--) //k-номер строки
{
for (int i = n; i > -1; i--) //i-номер столбца
Matrix_Clone[k, i] = Matrix_Clone[k, i] / Matrix[k, k];
for (int i = k - 1; i > -1; i--) //i-номер следующей строки после k
{
double K = Matrix_Clone[i, k] / Matrix_Clone[k, k];
for (int j = n; j > -1; j--) //j-номер столбца следующей строки после k
Matrix_Clone[i, j] = Matrix_Clone[i, j] - Matrix_Clone[k, j] * K;
}
}
// Отделяем от общей матрицы ответы
double[] Answer = new double[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
Answer[i] = Matrix_Clone[i, n];
return Answer;
}
}
}
Применение и модификации
Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:
- нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: [math]\displaystyle{ [A|E] }[/math], после чего [math]\displaystyle{ A }[/math] приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса—Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: [math]\displaystyle{ [E|A^{-1}] }[/math]);
- определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера — Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
- численного решения СЛАУ в технических приложениях (для уменьшения погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).
Достоинства метода
- Для матриц ограниченного размера — менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
- Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
- Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы[3].
Устойчивость метода Гаусса
Метод Гаусса для плохо обусловленных матриц коэффициентов является вычислительно неустойчивым. Например, для матриц Гильберта метод приводит к очень большим ошибкам даже при небольшой размерности этих матриц. Уменьшить вычислительную ошибку можно с помощью метода Гаусса с выделением главного элемента, который является условно устойчивым[4]. Широкое применение метода Гаусса связано с тем, что плохо обусловленные матрицы встречаются на практике относительно редко.
Неоптимальность метода Гаусса
В 1969 году Штрассен доказал, что большие матрицы можно перемножить за время [math]\displaystyle{ O(n^{\log_2{7}}) = O(n^{2{,}81}) }[/math]Шаблон:Source-ref. Отсюда вытекает, что обращение матриц и решение СЛАУ можно осуществлять алгоритмами асимптотически более быстрыми по порядку, чем метод Гаусса. Таким образом, для больших СЛАУ метод Гаусса не оптимален по скорости.
См. также
- Метод Гаусса — Жордана
- Метод Крамера
- Система линейных алгебраических уравнений
- Теорема Кронекера — Капелли
- Фундаментальная система решений
- Элементарные преобразования матрицы
- Метод Гаусса (оптимизация)
- Метод покоординатного спуска (Гаусса — Зейделя)
- Метод Якоби
Примечания
- ↑ Н. Ш. Кремер, 2.3. «Метод Гаусса», стр. 44
- ↑ Такого расположения минора можно добиться перестановкой столбцов основной матрицы и соответствующей перенумерацией переменных.
- ↑ Н. Ш. Кремер, 2.4. «Система m линейных уравнений с n переменными», стр. 49
- ↑ УСТОЙЧИВОСТЬ И ТОЧНОСТЬ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ (недоступная ссылка)
Литература
- И. М. Виноградов. Гаусса метод // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . — 1977—1985.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
- Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
- Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд.|место = М. |издательство = Лаборатория Базовых Знаний |год = 2000 |страницы = |isbn =}}
- Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575—576.
- Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с. — ISBN 5-238-00991-7.
Ссылки
- Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT & Flannery, BP (2007), Section 2.2, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8