Ступенчатый вид матрицы

В линейной алгебре матрица считается матрицей ступенчатого вида по строкам если

все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми нулевыми строками;
ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) (англ. pivot) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array} &\color{red}\boxed\star& \star& \star& \star& \star\\ 0 & \color{red}\boxed\star& \star& \star& \star \\ 0 & 0& 0& \color{red}\boxed\star& \star \\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array} \right)\qquad \begin{aligned} \star &;= \text{любое число} \\ \color{red}\boxed\star &;= \text{любое ненулевое число} \end{aligned} }[/math]

Вот пример матрицы ступенчатого вида по строкам:

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & 4 & a_4 & a_5 \\ 0 & 0 & 1 & a_6 \end{array} \right] }[/math]

Матрица называется матрицей приведённого ступенчатого вида по строкам (или канонического вида по строкам) если она удовлетворяет дополнительному условию:

каждый ведущий элемент ненулевой строки - это единица, и он является единственным ненулевым элементом в своём столбце.

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array} &\color{red}1& 0& \star& 0& \star\\ 0& \color{red}1& \star& 0& \star\\ 0& 0& 0& \color{red}1& \star\\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{array} \right) \qquad \begin{aligned} \star &= \text{любое число} \\ \color{red}1 &= \text{ведущий элемент} \end{aligned} }[/math]

Каждая матрица эквивалентна строками одной и только одной матрице приведенного ступенчатого вида построкам. То есть, каким бы образом мы не проиводили элементарные преобразования, мы получим матрицу в том же самом приведенном ступенчатом виде по строкам.

Вот пример матрицы приведённого ступенчатого вида по строкам:

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & 1 & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & 1 & b_3 \end{array} \right] }[/math]

Отметим, что левый край матрицы приведённого ступенчатого вида по строкам не обязательно имеет вид единичной матрицы. Например, следующая матрица является матрицей приведённого ступенчатого вида

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & b_1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & b_3 \end{array} \right] }[/math]

поскольку константы в третьем столбце не являются ведущими элементами своих строк.

Например (См. Система линейных алгебраических уравнений):

[math]\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 1& 3 \end{array} \right] \quad\xrightarrow{\text{}}\quad \begin{cases} x = 1\\ y = -2\\ z = 3\rlap.\end{cases} }[/math]

Если расширенная матрица имеет приведенный ступенчатый вид, соответствующая система линейных алгебраических уравнений считается решенной (но не обязательно имеющей решение или совместной). Cистематической процедурой направленной на последовательное исключение неизвестных для решения системы линейных алгебраических уравнений является теория исключения. Любая матрица может быть преобразована в приведенный ступенчатый вид, используя только элементарные преобразования матрицы. Распространенным способом преобразования матрицы в ступенчатый вид является умножение на матрицу исключения.

Ведущий элемент

Ведущий элемент - это диагональный элемент матрицы используемый при последовательном исключении неизвестных как делитель по отношению к элементам расположенным ниже в столбце. Последовательное исключение неизвестных, например применение метода Гаусса, невозможно, если ведущий элемент равен нулю. Этого возможно избежать применив перестановку, например, с использованием матрицы перестановки.

Возьмем систему линейных алгебраических уравнений

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x - y = 0\\ x + y = 2\rlap. \end{cases} }[/math]

Графики этих функций, изображенные соответственно красной и синей прямой на [math]\displaystyle{ \R^2 }[/math] пересекаются в точке [math]\displaystyle{ (1;1) }[/math]. Применяя элементарные преобразования, вычтя первое равенство из второго мы получим [math]\displaystyle{ 2y=2 }[/math], или [math]\displaystyle{ y=1 }[/math]. То есть наша система уравений приобретет вид:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}\begin{alignat}{7} x&\; -&\; y&\; =&\; 0\\ &\;&\;y&\; =&\; 1\rlap.\end{alignat}\end{cases} }[/math]

В матричном виде это может быть выражено следующим образом:

[math]\displaystyle{ \def\r{\color{red}} \begin{split} \left[\begin{array}{cc|c} 1& -1& 0\\ 1& 1& 2 \end{array}\right] \quad\xrightarrow{R_2=R_2-R_1}\quad& \left[\begin{array}{cc|c} 1& -1& 0\\ 0& 2& 2 \end{array}\right] \quad\xrightarrow{R_2=\frac{1}{2}R_2}\quad& \left[\begin{array}{cc|c} 1& -1& 0\\ 0& 1& 1 \end{array}\right] \end{split} }[/math]

Произведенные нами преобразования геометрически привели к тому, что график обозначенный синей линией был заменен графиком обозначенным голубой линией [math]\displaystyle{ y = 1 }[/math]. Это можно рассматривать как поворот графика функции вокруг точки [math]\displaystyle{ ( 1,1 ) }[/math] произведенный в результате преобразований. Ведущий элемент в матрице используется для того, чтобы произвести такую замену графика функции, чтобы "повернуть" его таким образом.

Расширенная матрица соответствует несовместной системе линейных алгебраических уравнений (не имеющей решений) тогда и только тогда, когда последний столбец матрицы - расширенный столбец, после вертикальной черты) - является ведущим столбцом. Столбец называется ведущим, если он содержит ведущий элемент. Например, система уравений

[math]\displaystyle{ \begin{cases}2x + 10y = -1\\ 3x + 15y = 2\end{cases} }[/math],

которую можно представить в ввиде расширенной матрицы как

[math]\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc|c} 2& {10}& {-1} \\3& {15}& 2\end{array}\right] }[/math]

после преобразований приобретает вид

[math]\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc|c} 1& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] }[/math],

в которой последняя строка содержит ведущий элемент в расширенном, последнем столбце. То есть последний столбец этой расширенной матрицы является ведущим столбцом. Следовательно эта система уравнений явялется несовместной: \begin{cases}x& +& 5y& =& 0\\&&0& =& 1\end{cases}

См. также

Ссылки