Биномиальный ряд

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции [math]\displaystyle{ f }[/math], заданной выражением [math]\displaystyle{ f(x)=(1+x)^{\alpha}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \alpha \in \Complex }[/math] является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

[math]\displaystyle{ \begin{align} (1 + x)^\alpha &= \sum_{k=0}^{\infty} \; \binom{\alpha}{k} \; x^k \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots, \end{align} }[/math]

(1)

и биномиальный ряд справа в формуле (1) является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов

[math]\displaystyle{ \binom{\alpha}{k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}. }[/math]

Специальные случаи

Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] является неотрицательным целым числом n, то [math]\displaystyle{ (n + 2) }[/math]-й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель [math]\displaystyle{ (n-n) }[/math], так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.

Следующие выражения верны для любого комплексного [math]\displaystyle{ \beta }[/math], но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле (1):

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(1-z)^{\beta+1}} = \sum_{k=0}^\infty {k+\beta \choose k}z^k. }[/math]

Чтобы это доказать, подставим [math]\displaystyle{ x=-z }[/math] в выражение (1) и применим тождество для биномиальных коэффициентов

[math]\displaystyle{ \binom{-\beta-1}{k} = (-1)^k \binom{k+\beta}{k}. }[/math]

Сходимость

Условия сходимости

Сходится ли ряд в формуле (1), зависит значений комплексных чисел [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и x. Точнее:

Если [math]\displaystyle{ |x| \lt 1 }[/math], ряд сходится абсолютно для любого комплексного [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].
Если [math]\displaystyle{ \left |x\right | = 1 }[/math] ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо [math]\displaystyle{ Re(\alpha) \gt 0 }[/math], либо [math]\displaystyle{ \alpha = 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ Re(\alpha) }[/math] означает вещественную часть [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].
Если [math]\displaystyle{ \left |x\right | = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x \ne -1 }[/math] ряд сходится тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ Re(\alpha) \gt -1 }[/math].
Если [math]\displaystyle{ x = -1 }[/math] ряд сходится тогда и только тогда, когда либо [math]\displaystyle{ Re(\alpha) \gt 0 }[/math], либо [math]\displaystyle{ \alpha = 0 }[/math].
Если [math]\displaystyle{ \left |x\right | \gt 1 }[/math] ряд расходится, за исключением случая, когда [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).

В частности, если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости [math]\displaystyle{ |x| = 1 }[/math] приведена ниже:

Если [math]\displaystyle{ Re(\alpha) \gt 0 }[/math] ряд сходится абсолютно.
Если [math]\displaystyle{ -1 \lt Re(\alpha) \leqslant 0 }[/math] ряд сходится условно, если [math]\displaystyle{ x \ne -1 }[/math], и расходится, если [math]\displaystyle{ x =-1 }[/math].
Если [math]\displaystyle{ Re(\alpha) \leqslant -1 }[/math] ряд расходится.

Тождества, используемые в доказательстве

Следующее выполняется для любого комплексного числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]:

[math]\displaystyle{ {\alpha \choose 0} = 1, }[/math]

[math]\displaystyle{ {\alpha \choose k+1} = {\alpha\choose k}\,\frac{\alpha-k}{k+1}, }[/math]

(2)

[math]\displaystyle{ {\alpha \choose k-1} + {\alpha\choose k} = {\alpha+1 \choose k}. }[/math]

(3)

Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда [math]\displaystyle{ k }[/math] больше [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:

[math]\displaystyle{ {\alpha \choose k} = \frac{(-1)^k} {\Gamma(-\alpha)k^ {1+\alpha} } \,(1+o(1)), \quad\text{as }k\to\infty. }[/math]

(4)

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:

[math]\displaystyle{ \Gamma(z) = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \; k^z}{z \; (z+1)\cdots(z+k)}, }[/math]

откуда немедленно следуют грубые границы

[math]\displaystyle{ \frac {m} {k^{1+\operatorname{Re}\,\alpha}}\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right| \leqslant \frac {M} {k^{1+\operatorname{Re}\alpha}}, }[/math]

(5)

для некоторых положительных констант m и M.

Формула (2) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как

[math]\displaystyle{ {\alpha \choose k} = \prod_{j=1}^k \left (\frac {\alpha + 1} j - 1 \right ). }[/math]

(6)

Доказательство

Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу (2) выше, чтобы показать, что когда [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы (5) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty \; \frac {1} {k^p}, }[/math]

с [math]\displaystyle{ p=1+\operatorname{Re}\alpha }[/math]. Для доказательства (iii) сначала используем формулу (3), чтобы получить

[math]\displaystyle{ (1 + x) \sum_{k=0}^n \; {\alpha \choose k} \; x^k =\sum_{k=0}^n \; {\alpha+1\choose k} \; x^k + {\alpha \choose n} \;x^{n+1}, }[/math]

(7)

а затем используем (ii) и снова формулу (5) для доказательства сходимости правой части, когда [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\alpha\gt -1 }[/math]. С другой стороны, ряд не сходится, если [math]\displaystyle{ |x|=1 }[/math] and [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} \alpha \leqslant - 1 }[/math], снова по формуле (5). Иначе можно заметить, что для всех [math]\displaystyle{ j }[/math], [math]\displaystyle{ \left |\frac {\alpha + 1}{j} - 1 \right | \geqslant 1 - \frac {\operatorname{Re} \alpha + 1}{j} \geqslant 1 }[/math]. Тогда, по формуле (6), для всех [math]\displaystyle{ k, \left|{\alpha \choose k} \right| \geqslant 1 }[/math]. Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество (7) выше с [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha-1 }[/math] вместо [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], и используем формулу (4), чтобы получить

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \; {\alpha\choose k} \; (-1)^k = {\alpha-1 \choose n} \;(-1)^n= \frac{1} {\Gamma(-\alpha+1)n^{\alpha}}(1+o(1)) }[/math]

при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math]. Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности [math]\displaystyle{ n^{-\alpha} = e^{-\alpha \log(n)} }[/math]. (А именно, [math]\displaystyle{ \left|e^{-\alpha\log n}\right| = e^{-\operatorname{Re}\alpha\, \log n} }[/math] определённо сходится к [math]\displaystyle{ 0 }[/math], если [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\alpha\gt 0 }[/math] и расходится к [math]\displaystyle{ +\infty }[/math], если [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\alpha\lt 0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\alpha=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ n^{-\alpha} = e^{-i \operatorname{Im}\alpha\log n} }[/math] и сходится тогда и только тогда, когда последовательность [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}\alpha\log n }[/math], что определённо выполняется, если [math]\displaystyle{ \alpha=0 }[/math], но неверно, если [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}\alpha \neq 0 }[/math]).

Суммирование биномиальных рядов

Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости [math]\displaystyle{ \left |x\right | \lt 1 }[/math] и использовать формулу (1), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение [math]\displaystyle{ (1 + x)u'(x) = \alpha u(x) }[/math] с начальным значением [math]\displaystyle{ u(0) = 1 }[/math]. Единственным решение этой задачи является функция [math]\displaystyle{ u(x) = (1 + x)^\alpha }[/math], которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для [math]\displaystyle{ \left |x\right |\lt 1 }[/math]. Равенство расширяется до [math]\displaystyle{ \left |x\right | = 1 }[/math], если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности [math]\displaystyle{ (1 + x)^\alpha }[/math].

История

Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей, ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида [math]\displaystyle{ y = (1-x^2)^m }[/math], где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты [math]\displaystyle{ c_k }[/math] при [math]\displaystyle{ (-x^2)^k }[/math] получаются путём умножения предыдущего коэффициента на [math]\displaystyle{ \tfrac{m - (k - 1)}{k} }[/math] (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выражения^[a]

[math]\displaystyle{ (1-x^2)^{1/2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8-\frac{x^6}{16}\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ (1-x^2)^{3/2}=1-\frac{3x^2}2+\frac{3x^4}8+\frac{x^6}{16}\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ (1-x^2)^{1/3}=1-\frac{x^2}3-\frac{x^4}9-\frac{5x^6}{81}\cdots }[/math]

Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимости^[2].

См. также

Примечания

↑ ^[1] На деле этот источник даёт все неконстантные отрицательные члены, что неверно для второго уравнения; следует считать это ошибкой цитирования.

↑ Coolidge, 1949.
↑ Abel, 1826.

Литература

Niels Abel. Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1.2)x² + (m(m-1)(m-2)/1.2.3)x³ + ... // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1826. — Т. 1. — С. 311–339.
Coolidge J. L. The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. — 1949. — Т. 56, вып. 3. — С. 147—157. — doi:10.2307/2305028. — JSTOR 2305028.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Binomial Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Binomial Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
binomial formula (англ.) на сайте PlanetMath.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Binomial series, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[2] [1] На деле этот источник даёт все неконстантные отрицательные члены, что неверно для второго уравнения; следует считать это ошибкой цитирования.

[_9641d0dfa454047e-1] Coolidge, 1949.

[_3d77593df04e18a8-3] Abel, 1826.

[a]

[2]

[1]

Разделы вещественного анализа
Основы анализа	Функция Эйлера [math]\displaystyle{ \phi(n) }[/math] Функция Жордана Бином Ньютона Выпуклая функция Непрерывное отображение Факториал Конечные разности Свободные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля Секущая Угловой коэффициент Касательная
Пределы	Раскрытие неопределённостей Предел функции Односторонний предел Предел последовательности Порядок аппроксимации (ε, δ)-определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная функции Дифференциальное уравнение Дифференциальный оператор Теорема о среднем Обозначения Нотация Лейбница Нотация Ньютона Правила дифференцирования Линейность Дифференцирование степени Дифференцирование сложной функции Правило Лопиталя Правило произведения Формула Лейбница Производная от дроби Другие техники Неявное дифференцирование Дифференцирование обратной функции Логарифмическая производная Связанные коэффициенты Стационарные точки Тест первой производной Тест второй производной Теорема об экстремумах Экстремум Другие приложения Метод Ньютона Теорема Тейлора
Интеграл	Первообразная Длина кривой Постоянная интегрирования Основная теорема анализа Дифференцирование под знаком интеграла Интегрирование по частям Метод подстановки Тригонометрическая подстановка Подстановки Эйлера Подстановка Вейерштрасса Разложение на простейшие Квадратичный интеграл Метод трапеций Объёмы Метод Вошера Интегрирование подграфика
Векторный анализ	Derivatives Ротор Производная по направлению Дивергенция Градиент Лапласиан Основные теоремы Теорема о градиенте Теорема Грина Теорема Стокса Формула Гаусса — Остроградского
Анализ функций многих переменных	Формула Гаусса — Остроградского Геометрический анализ Гессиан функции Матрица Якоби Множители Лагранжа Криволинейный интеграл Матричный анализ Кратный интеграл Частная производная Поверхностные интегралы Интеграл по объёму Дополнительные главы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщённая теорема Стокса Тензорный анализ)
Последовательности и ряды	Арифметико-геометрическая прогрессия Виды рядов Знакочередующийся Биномиальный Ряд Фурье Геометрический ряд Гармонический Ряд Степенной Маклорена Тейлора Телескопический Признаки сходимости Абеля Лейбница Коши Признак сравнения Дирихле Интегральный Сравнение пределов Д’Аламбера Радикальный Необходимое условие
Специальные функции и числа	Числа Бернулли e (число) Показательная функция Натуральный логарифм Формула Стирлинга
Анализ бесконечно малых	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Универсальность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц Бесконечно малая и бесконечно большая Исаак Ньютон Флюксии Метод флюксий Принцип непрерывности Леонард Эйлер Метод механических теорем