Радиан
| Радиан | |
|---|---|
| Файл:Рад | |
 1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности | |
| Величина | величина угла |
| Система | СИ |
| Тип | основная |
Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу[1]. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС[2].
Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану[3]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).
Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла[4][5].
Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.
Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.
Радиан в Международной системе единиц (СИ)
В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[8].
Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду[9].
Кратные и дольные единицы
Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.
| Кратные | Дольные | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| величина | название | обозначение | величина | название | обозначение | ||
| 101 рад | декарадиан | дарад | darad | 10−1 рад | децирадиан | драд | drad |
| 102 рад | гекторадиан | град | hrad | 10−2 рад | сантирадиан | срад | crad |
| 103 рад | килорадиан | крад | krad | 10−3 рад | миллирадиан | мрад | mrad |
| 106 рад | мегарадиан | Мрад | Mrad | 10−6 рад | микрорадиан | мкрад | µrad |
| 109 рад | гигарадиан | Град | Grad | 10−9 рад | нанорадиан | нрад | nrad |
| 1012 рад | терарадиан | Трад | Trad | 10−12 рад | пикорадиан | прад | prad |
| 1015 рад | петарадиан | Прад | Prad | 10−15 рад | фемторадиан | фрад | frad |
| 1018 рад | эксарадиан | Эрад | Erad | 10−18 рад | атторадиан | арад | arad |
| 1021 рад | зеттарадиан | Зрад | Zrad | 10−21 рад | зепторадиан | зрад | zrad |
| 1024 рад | иоттарадиан | Ирад | Yrad | 10−24 рад | иокторадиан | ирад | yrad |
| 1027 рад | роннарадиан | Ррад | Rrad | 10−27 рад | ронторадиан | ррад | rrad |
| 1030 рад | кветтарадиан | Кврад | Qrad | 10−30 рад | квекторадиан | кврад | qrad |
| рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике | |||||||
Связь радиана с другими единицами
Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:
Очевидно, развернутый угол равен [math]\displaystyle{ 180^\circ, }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{\pi \cdot r}{r}= \pi }[/math] радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.
- a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),
- α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),
где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.
1 рад (или [math]\displaystyle{ p^\circ }[/math]) = [math]\displaystyle{ \frac{360^\circ}{2\pi} \approx 57{,}295779513^\circ \approx 57^\circ17'44{,}806'' }[/math](мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)
[math]\displaystyle{ p' }[/math] (или 1 рад в минутах) = [math]\displaystyle{ \frac{360^\circ \cdot 60'}{2\pi} \approx 3437{,}747' }[/math]
[math]\displaystyle{ p'' }[/math] (или 1 рад в секундах) = [math]\displaystyle{ \frac{360^\circ \cdot 60' \cdot 60''}{2\pi} \approx 206264{,}8''. }[/math]
В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
[math]\displaystyle{ p^{\backprime \backprime} }[/math] (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = [math]\displaystyle{ \frac{400 \cdot 100 \cdot 100}{2\pi} = 636620. }[/math]
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.
Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа ([math]\displaystyle{ \mathrm{rad} }[/math]) делаем именованное ([math]\displaystyle{ p^\circ, p', p'' }[/math]) и поэтому должны множить на [math]\displaystyle{ p^\circ ~ ( }[/math]или [math]\displaystyle{ p', p'') }[/math];
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на [math]\displaystyle{ p^\circ ~ ( }[/math]или [math]\displaystyle{ p', p''), }[/math] либо же умножать на перевёрнутую
дробь [math]\displaystyle{ \frac{1}{p^\circ} ~ (\frac{1}{p'}, \frac{1}{p''}). }[/math]
Пример 1. Перевести в радианы [math]\displaystyle{ 5^\circ43'46''. }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\alpha} [\mathrm{rad}] \eqcirc 5^\circ = \frac{5^\circ}{\displaystyle{p^\circ}} ~\mathrm{rad} = 0{,}0872_6 }[/math][10]
[math]\displaystyle{ 43' = \frac{43'}{p'} ~\mathrm{rad} = 0{,}0125_{08} }[/math][10]
[math]\displaystyle{ 46'' = \frac{46''}{p''} ~\mathrm{rad} = 0{,}0002_{23} }[/math][10]
[math]\displaystyle{ \sum \approx 0{,}0999_9 ~\mathrm{rad} }[/math][10] [math]\displaystyle{ = 0{,}1 ~\mathrm{rad} }[/math]
Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на [math]\displaystyle{ p^\circ : }[/math] (как правило, этот способ более точен)
[math]\displaystyle{ 46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}' }[/math]
[math]\displaystyle{ 43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum = 5{,}\boldsymbol{7295}^\circ }[/math]
[math]\displaystyle{ 5{,}7295^\circ = \frac{5{,}7295^\circ}{p^\circ} ~\mathrm{rad} = \frac{5{,}7295^\circ}{\displaystyle{57{,}295^\circ}} = 0{,}1 ~\mathrm{rad} }[/math]
Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.
[math]\displaystyle{ a [^\circ] \eqcirc 1 \cdot \frac{360^\circ}{2\pi} = 1 \cdot 57{,}29578^\circ = 57{,}\boldsymbol{29578}^\circ }[/math]
[math]\displaystyle{ 0{,}\boldsymbol{29578}^\circ \cdot 60' = 17{,}\boldsymbol{7468}' }[/math]
[math]\displaystyle{ 0{,}\boldsymbol{7468}' \cdot 60'' = 44{,}807'' \approx 45'' }[/math]
Итого [math]\displaystyle{ \approx 57^\circ 17'45''. }[/math]
Таблица градусов, радиан и град
| Угол, в долях от полного |
Градусы | Радианы | Грады | Синус | Косинус | Тангенс |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ 0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{24} }[/math] | [math]\displaystyle{ 15^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{12} }[/math] | [math]\displaystyle{ 33\frac{1}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) }[/math] | [math]\displaystyle{ 2-\sqrt{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{12} }[/math] | [math]\displaystyle{ 30^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{6} }[/math] | [math]\displaystyle{ 16\frac{2}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ 45^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }[/math] | [math]\displaystyle{ 50^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math] | [math]\displaystyle{ 60^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ 66\frac{2}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{5}{24} }[/math] | [math]\displaystyle{ 75^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{5\pi}{12} }[/math] | [math]\displaystyle{ 88\frac{1}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1) }[/math] | [math]\displaystyle{ 2+\sqrt{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math] | [math]\displaystyle{ 90^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ 100^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] | не определяется |
| [math]\displaystyle{ \frac{7}{24} }[/math] | [math]\displaystyle{ 105^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{7\pi}{12} }[/math] | [math]\displaystyle{ 116\frac{2}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1) }[/math] | [math]\displaystyle{ -2-\sqrt{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ 120^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ 133\frac{1}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\sqrt{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{3}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ 135^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{3\pi}{4} }[/math] | [math]\displaystyle{ 150^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{5}{12} }[/math] | [math]\displaystyle{ 150^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{5\pi}{6} }[/math] | [math]\displaystyle{ 166\frac{2}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{11}{24} }[/math] | [math]\displaystyle{ 165^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{11\pi}{12} }[/math] | [math]\displaystyle{ 183\frac{1}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1) }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) }[/math] | [math]\displaystyle{ -2+\sqrt{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \pi }[/math] | [math]\displaystyle{ 200^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] | -1 | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{7}{12} }[/math] | [math]\displaystyle{ 210^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{7\pi}{6} }[/math] | [math]\displaystyle{ 233\frac{1}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \dfrac{5}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ 225^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \dfrac{5\pi}{4} }[/math] | [math]\displaystyle{ 250^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\dfrac{\sqrt{2}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\dfrac{\sqrt{2}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{2}{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ 240^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{4\pi}{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ 266\frac{2}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math] | [math]\displaystyle{ 270^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{3\pi}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ 300^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ -1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] | не определяется |
| [math]\displaystyle{ \frac{5}{6} }[/math] | [math]\displaystyle{ 300^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{5\pi}{3} }[/math] | [math]\displaystyle{ 333\frac{1}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\sqrt{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{7}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ 315^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{7\pi}{4} }[/math] | [math]\displaystyle{ 350^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{11}{12} }[/math] | [math]\displaystyle{ 330^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{11\pi}{6} }[/math] | [math]\displaystyle{ 366\frac{2}{3}^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{3} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 360^\circ }[/math] | [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] | [math]\displaystyle{ 400^\mathrm{g} }[/math] | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] |
Радианная мера в математическом анализе
При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.
При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее [math]\displaystyle{ 0{,}1 ~ \mathrm{rad} ~ ( 5^\circ43'{,}77 ) }[/math], приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше [math]\displaystyle{ 0{,}01 ~ \mathrm{rad} ~ ( 0^\circ34'{,}38 ) }[/math], — то до шестого знака после запятой[12]:
- [math]\displaystyle{ \sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha. }[/math]
История
Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[14].
Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»[15][16][17].
См. также
- Град, минута, секунда
- Градус, минута, секунда
- Оборот (единица измерения)
- Парсек
- Стерадиан
- Тысячная (угол)
Примечания
- ↑ Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4.
- ↑ Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
- ↑ Выгодский, 1965.
- ↑ Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002.
- ↑ David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года.
- ↑ Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 28 июля 2012 года.
- ↑ Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
- ↑ ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. (недоступная ссылка). Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано 10 ноября 2012 года.
- ↑ Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 7 октября 2014 года.
- ↑ 10,0 10,1 10,2 10,3 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
- ↑ Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46.
- ↑
[math]\displaystyle{ \sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \approx 0{,}100 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \operatorname{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \approx 0{,}100 }[/math] (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)
- [math]\displaystyle{ \sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \approx 0{,}010000 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \operatorname{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \approx 0{,}010000 }[/math] (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы [math]\displaystyle{ 5^\circ43'{,}77 ~ ( \approx 5^\circ43'46'' ) }[/math] и [math]\displaystyle{ 0^\circ34'{,}38 ~ ( \approx 0^\circ34'23'' ) }[/math]; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)
- ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года.
- ↑ Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40.
- ↑ Florian Cajori. History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4.
- ↑ Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — .Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — .Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — .
- ↑ Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2021 года.
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
- Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.
 |
