Теорема Абеля

Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Утверждение

Пусть [math]\displaystyle{ \textstyle f(x)= \sum\limits_{n \geqslant 0} a_n x^n }[/math] — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости [math]\displaystyle{ R }[/math].

Если ряд [math]\displaystyle{ \textstyle\sum\limits_{n\geqslant 0} a_n R^n }[/math] является сходящимся, тогда:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to R^-} f(x) = \sum_{n \geqslant 0} a_nR^n }[/math].

Доказательство

Заменой переменных [math]\displaystyle{ u=x/R }[/math], можно считать [math]\displaystyle{ R=1 }[/math]. Также (необходимым подбором [math]\displaystyle{ a_0 }[/math]) можно предположить [math]\displaystyle{ \textstyle\sum a_n=0 }[/math]. Обозначим [math]\displaystyle{ S_n }[/math] частичные суммы ряда [math]\displaystyle{ \textstyle\sum a_n }[/math]. Согласно предположению [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S_n=0 }[/math] и нужно доказать, что [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 1^-} f(x) = 0 }[/math].

Рассмотрим [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math]. Тогда (приняв [math]\displaystyle{ S_{-1}=0 }[/math]):

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{N}(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^{N}S_n(x^n-x^{n+1}) + S_Nx^{N+1}. }[/math]

Отсюда получается [math]\displaystyle{ \textstyle f(x)=(1-x)\sum\limits_{n=0}^{\infty}S_nx^n }[/math].

Для произвольного [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует натуральное число [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], что [math]\displaystyle{ |S_n|\leq\varepsilon }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n\gt N_0 }[/math], поэтому:

[math]\displaystyle{ \vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right\vert + (1-x)\ \varepsilon\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n=(1-x)\left\vert\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right\vert +\varepsilon x^{N_0+1}. }[/math]

Правая часть стремится к [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] когда [math]\displaystyle{ x }[/math] стремится к 1, в частности она меньше [math]\displaystyle{ 2\varepsilon }[/math] при следовании [math]\displaystyle{ x }[/math] к 1.

Примеры

Примеры 1

Возьмем [math]\displaystyle{ \textstyle f(x)= \sum\limits_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \ln (1+x) }[/math]. Поскольку ряд [math]\displaystyle{ \textstyle\sum\limits_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} }[/math] сходится, имеем:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \ln 2 = \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} }[/math]

Примеры 2

Возьмем [math]\displaystyle{ \textstyle g(x)= \sum\limits _{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x) }[/math]. Поскольку ряд [math]\displaystyle{ \textstyle\sum\limits_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1} }[/math] сходится, имеем:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1} }[/math]

Ссылки

• Abel summability (англ.) на сайте PlanetMath. (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.