Теорема Вейерштрасса о функции на компакте
Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней[1].
Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно.[1]
Формулировка теоремы
Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций, действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел.
Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций
В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:
Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений, т. е. существуют [math]\displaystyle{ x_m, x_M \in [a, b] }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ f(x_m) \leqslant f(x) \leqslant f(x_M) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x \in [a, b] }[/math].
Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций
- Пусть функция [math]\displaystyle{ f\colon[a,\;b]\to\R }[/math] ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
- [math]\displaystyle{ M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)\lt \left\vert \infty \right\vert }[/math] и [math]\displaystyle{ \exists x_M\in[a,\;b]\colon f(x_M)=M. }[/math]
- Пусть функция [math]\displaystyle{ f\colon[a,\;b]\to\R }[/math] ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
- [math]\displaystyle{ m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)\gt -\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ \exists x_m\in[a,\;b]\colon f(x_m)=m. }[/math]
Доказательство
Доказательство теоремы для непрерывных функций
В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань [math]\displaystyle{ M = \sup_{x \in [a,b]} f(x) }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ M }[/math] — точная верхняя грань, существует последовательность [math]\displaystyle{ x_n }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ \lim f(x_n) = M }[/math]. По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности [math]\displaystyle{ x_n }[/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math]\displaystyle{ x_{n_k} }[/math], предел которой (назовем его [math]\displaystyle{ x_M }[/math]) также принадлежит отрезку [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. В силу непрерывности функции [math]\displaystyle{ f }[/math] имеем [math]\displaystyle{ f(x_M) = \lim f(x_{n_k}) }[/math], но с другой стороны [math]\displaystyle{ \lim f(x_{n_k})= \lim f(x_n) = M }[/math]. Таким образом, точная верхняя грань [math]\displaystyle{ M }[/math] конечна и достигается в точке [math]\displaystyle{ x_M }[/math].
Для нижней грани доказательство аналогично.
Доказательство теоремы в общем случае
Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — компакт, и функция [math]\displaystyle{ f }[/math] непрерывна на [math]\displaystyle{ A }[/math]. Рассмотрим совокупность множеств [math]\displaystyle{ V_n = f^{-1}\big((-n, n)\big) }[/math], где [math]\displaystyle{ (-n, n) \subset \R }[/math] — открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и, очевидно, образуют покрытие [math]\displaystyle{ A }[/math]. По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие [math]\displaystyle{ V_{n_k} }[/math], откуда имеем [math]\displaystyle{ \forall x \in A: f(x) \lt \max n_k }[/math], ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции [math]\displaystyle{ [f(x) - \sup f(A)]^{-1} }[/math], [math]\displaystyle{ [f(x) - \inf f(A)]^{-1} }[/math], и применить к ним только что доказанное утверждение.
Замечания
В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс
- [math]\displaystyle{ \operatorname{tg} \colon \left(-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right) \to \R }[/math]
непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.
См. также
Примечания
Для улучшения этой статьи желательно: |