Асимптотический анализ
Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.
Например, в функции [math]\displaystyle{ f(n)=n^2+3n }[/math] при стремлении [math]\displaystyle{ n }[/math] к бесконечности слагаемое [math]\displaystyle{ 3n }[/math] становится пренебрежимо малым по сравнению с [math]\displaystyle{ n^2 }[/math], поэтому про функцию [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] говорят, что она «асимптотически эквивалентна [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math]», что зачастую также записывают как [math]\displaystyle{ f(n) \sim n^2 }[/math]. Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны [math]\displaystyle{ x }[/math], тогда теорема может быть сформулирована как [math]\displaystyle{ \pi(x) \sim \frac{x}{\log x} }[/math].
Асимптотическое равенство
Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] — некоторые функции. Тогда бинарное отношение [math]\displaystyle{ \sim }[/math] определяется таким образом, что
- [math]\displaystyle{ f(x) \sim g(x) \quad (\text{при } x\to\infty) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1. }[/math]
Функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] при этом называются асимптотически эквивалентными, так как [math]\displaystyle{ \sim }[/math] является отношением эквивалентности для функций над [math]\displaystyle{ x }[/math]. Областью определения [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на [math]\displaystyle{ x }[/math], таких как [math]\displaystyle{ x \to 0 }[/math]. Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.
Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] принимает значение [math]\displaystyle{ 0 }[/math] бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:
- [math]\displaystyle{ f(x) - g(x) \in o(g(x)). }[/math]
Данное определение эквивалентно приведённому выше если [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки[2][3].
Свойства
Если [math]\displaystyle{ f \sim g }[/math] и [math]\displaystyle{ a \sim b }[/math], то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:
- [math]\displaystyle{ f^r \sim g^r }[/math], для любого вещественного [math]\displaystyle{ r }[/math]
- [math]\displaystyle{ \log(f) \sim \log(g) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\times a \sim g\times b }[/math]
- [math]\displaystyle{ f / a \sim g / b }[/math]
Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.
Примеры асимптотических формул
- [math]\displaystyle{ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n }[/math]
- Количество способов разбить натуральное число [math]\displaystyle{ n }[/math] в неупорядоченную сумму натуральных чисел
- [math]\displaystyle{ p(n)\sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}} }[/math]
- Функция Эйри [math]\displaystyle{ Ai(x) }[/math] — решение дифференциального уравнения [math]\displaystyle{ y''-xy=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac{2}{3} x^\frac{3}{2}}}{2\sqrt{\pi} x^{1/4}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align} H_\alpha^{(1)}(z) &\sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{ i\left(z - \frac{2\pi\alpha - \pi}{4}\right)} \\ H_\alpha^{(2)}(z) &\sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{-i\left(z - \frac{2\pi\alpha - \pi}{4}\right)} \end{align} }[/math]
Асимптотическое разложение
Асимптотическим разложением функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку [math]\displaystyle{ f }[/math]. Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста [math]\displaystyle{ f }[/math]. Другими словами, если [math]\displaystyle{ f=g_1 + g_2 + g_3 + \dots }[/math] — асимптотическое разложение [math]\displaystyle{ f }[/math], то [math]\displaystyle{ f \sim g_1, }[/math] [math]\displaystyle{ f - g_1 \sim g_2 }[/math] и, в общем случае, [math]\displaystyle{ f - g_1 - \cdots - g_{k-1} \sim g_{k} }[/math] для любого [math]\displaystyle{ k }[/math]. В соответствии с определением [math]\displaystyle{ \sim }[/math] это значит, что [math]\displaystyle{ f - (g_1 + \cdots + g_k) = o(g_k) }[/math], то есть, [math]\displaystyle{ f - (g_1 + \cdots + g_k) }[/math] растёт асимптотически значительно медленнее [math]\displaystyle{ g_k. }[/math]
Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента [math]\displaystyle{ x }[/math] найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.
Примеры асимптотических разложений
- [math]\displaystyle{ \frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots \ (x \to \infty) }[/math]
- [math]\displaystyle{ xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \to \infty) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{n!(2x^2)^n} \ (x \to \infty) }[/math]
- где (2n − 1)!! — двойной факториал.
Применения
Асимптотический анализ используется:
- В прикладной математике для построения численных методов решения уравнений.
- В математической статистике и теории вероятностей для определения предельных свойств случайных величин и статистических оценок.
- В информатике при анализе алгоритмов и их времени работы.
- В статистической физике при анализе поведения физических систем.
- В анализе катастроф при определении причин катастрофы моделированием множества катастроф в том же месте.
Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мира[4]. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.
Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала) или распределений вероятности (ряд Эджворта). Примером расходящегося асимптотического разложения являются графы Фейнмана в квантовой теории поля.
См. также
- Асимптота
- Асимптотическая плотность (в теории чисел)
- «O» большое и «o» малое
- Асимптотически достоверное событие
Примечания
- ↑ (de Bruijn 1981, §1.4)
- ↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Asymptotic equality, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- ↑ Estrada & Kanwal (2002, §1.2)
- ↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Архивная копия от 22 июля 2021 на Wayback Machine, Cambridge University Press
Литература
- Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
- Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. — М.: Наука, 1978. — 386 с.
- Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions, Springer-Verlag, <https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false>
- de Bruijn, N. G. (1981), Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, <https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover>
- Estrada, R. & Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics, Birkhäuser, <https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false>
- Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, <https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false>
- Murray, J. D. (1984), Asymptotic Analysis, Springer, <https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false>
- Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, <https://www.researchgate.net/profile/Richard_Paris/publication/39064661_Asymptotics_and_Mellin-Barnes_Integrals/links/00b495295c15197336000000/Asymptotics-and-Mellin-Barnes-Integrals.pdf>
Ссылки
- Asymptotic Analysis — home page of the journal, which is published by IOS Press
- A paper on time series analysis using asymptotic distribution