Таблица производных

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а [math]\displaystyle{ c }[/math] — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций

[math]\displaystyle{ {d \over dx} c = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} x = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} cx = c }[/math]

Вывод

[math]\displaystyle{ (cx)'=cx'=c }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} x^c = cx^{c-1}, }[/math] когда [math]\displaystyle{ x^c }[/math] и [math]\displaystyle{ cx^{c-1} }[/math] определены, [math]\displaystyle{ c \ne 0 }[/math]

Вывод

[math]\displaystyle{ (x+h)^c = x^c+(x^c)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ (x+h)^c-x^c=(x^c)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k} - x^c =(x^c)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ x^c + cx^{c-1}h+\sum_{k=2}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k} - x^c =(x^c)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ cx^{c-1}h+\sum_{k=2}^c {c \choose k } x ^ {c-k} h ^ {k} =(x^c)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ cx^{c-1}h+o(h) =(x^c)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{h\rightarrow 0}(cx^{c-1}+\frac{o(h)}{h}) =\lim_{h\rightarrow 0}((x^c)'+\frac{o(h)}{h}) }[/math]

[math]\displaystyle{ cx^{c-1}=(x^c)' }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0 }[/math]

Вывод

Так как [math]\displaystyle{ |x|=\sqrt{x^2} }[/math], то пусть [math]\displaystyle{ g(x)=x^2, \quad h(x)=\sqrt{x} }[/math] и [math]\displaystyle{ f(x)=h(g(x))=\sqrt{x^2}=|x| }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{1-n\over n} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}} }[/math]

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

[math]\displaystyle{ {d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c \gt 0 }[/math]

Вывод

[math]\displaystyle{ {d \over dx} c^x= {d \over dx} e^{x\ln c}= e^{x\ln c}\ln c=c^x \ln c }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} e^x = e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \ln x = {1 \over x} }[/math]
[math]\displaystyle{ {d \over dx} \log_a x = \frac{ \log_a e} {x} = \frac {1} {x \ln a} }[/math]

Вывод

[math]\displaystyle{ log_a(x+h)=log_a x+(log_a x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ log_a(x+h)-log_a x =(log_a x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ log_a(1+\frac{h}{x})=(log_a x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ log_a e \frac{h}{x}=(log_a x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} \log_a f(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln f(x)}{\ln(a)} = \frac{ f'(x) }{ f(x) \ln(a)}. }[/math]

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \sin x = \cos x }[/math]

Вывод

[math]\displaystyle{ \sin(x+h)= \sin x + (\sin x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin(x+h)-\sin x=(\sin x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ 2\sin \frac{h}{2}\cos\frac{2x+h}{2}=(\sin x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ 2(\frac{h}{2}+o(h))(\cos x+o( 1)) =(\sin x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ (\cos x)h+o(h) =(\sin x)'h+o(h) }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos x =\sin' x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \cos x = -\sin x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = -{1 \over \sin^2 x} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \sec x =\,\operatorname{tg}\,x \sec x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \,\operatorname{cosec}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x \,\operatorname{cosec}\,x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \arccos x = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \,\operatorname{arcctg}\,x = -{1 \over 1 + x^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx} \,\operatorname{arccosec}\,x = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} }[/math]

Производные гиперболических функций

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{sh}\,x = \,\operatorname{ch}\,x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{ch}\,x = \,\operatorname{sh}\,x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{th}\,x = \,\operatorname{sech}^2\,x = 1 - \operatorname{th}^2\, x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x\,\operatorname{sech}\,x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{cth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{cth}\,x\,\operatorname{csch}\,x }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{arsh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{arch}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{arth}\,x = { 1 \over 1 - x^2} }[/math], при [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{arsech}\,x = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{arcth}\,x = { 1 \over 1 - x^2} }[/math], при [math]\displaystyle{ |x|\gt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {d \over dx}\,\operatorname{arcsch}\,x = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}} }[/math]

Правила дифференцирования общих функций

[math]\displaystyle{ \left({cf}\right)' = cf' }[/math]

[math]\displaystyle{ \left({f + g}\right)' = f' + g' }[/math]

[math]\displaystyle{ \left({f - g}\right)' = f' - g' }[/math]

[math]\displaystyle{ \left({fg}\right)' = f'g + fg' }[/math] (частный случай формулы Лейбница)

[math]\displaystyle{ \left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (f (g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x) }[/math] — Правило дифференцирования сложной функции

[math]\displaystyle{ f' = (\ln f)'f, \qquad f \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (f^c)' = c\left(f^{c-1}\right)f' }[/math]

См. также

Таблица первообразных