Формула Лейбница (производной произведения)
Формула Лейбница для [math]\displaystyle{ n }[/math]-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай [math]\displaystyle{ n }[/math]-кратного дифференцирования.
Пусть функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(z) }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math] раз дифференцируемые функции, тогда
- [math]\displaystyle{ \left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)}g^{(k)}}, }[/math] где [math]\displaystyle{ C_n^k={n\choose k}={{n!}\over{k!\;(n-k)!}} }[/math] — биномиальные коэффициенты.
Примеры
При [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] получается известное правило производной произведения:
- [math]\displaystyle{ (f\cdot g)'={f'g}+{fg'}. }[/math]
В случае [math]\displaystyle{ n=2 }[/math], например, имеем:
- [math]\displaystyle{ (f\cdot g)''=\sum\limits_{k=0}^{2}{C_2^k f^{(2-k)}g^{(k)}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}. }[/math]
В случае [math]\displaystyle{ n=3 }[/math], например, имеем:
- [math]\displaystyle{ (f\cdot g)'''=\sum\limits_{k=0}^{3}{C_3^k f^{(3-k)}g^{(k)}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}. }[/math]
В случае [math]\displaystyle{ n=4 }[/math], например, имеем:
- [math]\displaystyle{ (f\cdot g)^{(4)}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_4^k f^{(4-k)}g^{(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)}}+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}. }[/math]
Доказательство и обобщение
Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:
- [math]\displaystyle{ \partial^\alpha (fg) = \sum_{ \{\beta\,:\,\beta \le \alpha \} } {\alpha \choose \beta} (\partial^{\alpha - \beta} f) (\partial^{\beta} g). }[/math]
Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и [math]\displaystyle{ R = P \circ Q }[/math]. Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:
- [math]\displaystyle{ R(x, \xi) = e^{-{\langle x, \xi \rangle}} R (e^{\langle x, \xi \rangle}). }[/math]
Непосредственное вычисление дает:
- [math]\displaystyle{ R(x, \xi) = \sum_\alpha {1 \over \alpha!} \left({\partial \over \partial \xi}\right)^\alpha P(x, \xi) \left({\partial \over \partial x}\right)^\alpha Q(x, \xi). }[/math]
Эта формула также известна как формула Лейбница.