Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n }[/math] заданы положительно ориентированное ограниченное [math]\displaystyle{ p }[/math]-мерное подмногообразие [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ([math]\displaystyle{ 1\leqslant p\leqslant n }[/math]) и дифференциальная форма [math]\displaystyle{ \omega }[/math] степени [math]\displaystyle{ p-1 }[/math] класса [math]\displaystyle{ C^1 }[/math]. Тогда если граница подмногообразия [math]\displaystyle{ \partial\sigma }[/math] положительно ориентирована, то

[math]\displaystyle{ \int\limits_\sigma d\omega=\int\limits_{\partial\sigma}\omega, }[/math]

где [math]\displaystyle{ d\omega }[/math] обозначает внешний дифференциал формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math].

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math].

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая [math]\displaystyle{ l }[/math] (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки [math]\displaystyle{ a }[/math] к точке [math]\displaystyle{ b }[/math], в многообразии произвольной размерности. Форма [math]\displaystyle{ \omega }[/math] нулевой степени класса [math]\displaystyle{ C^1 }[/math] — это дифференцируемая функция [math]\displaystyle{ f }[/math]. Тогда формула Стокса записывается в виде

[math]\displaystyle{ \int\limits_l df=\int\limits_l f'\,dx=\int\limits_a^b f'\,dx=f(b)-f(a). }[/math]

Теорема Грина

Иногда называют теоремой Грина — Римана. Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — плоскость, а [math]\displaystyle{ D }[/math] — некоторая её положительно ориентированная ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Пусть форма первой степени, записанная в координатах [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y, }[/math] — это выражение [math]\displaystyle{ L\,dx+M\,dy. }[/math] Тогда для интеграла от этой формы по положительно ориентированной (против часовой стрелки) границе области [math]\displaystyle{ D }[/math] верно

[math]\displaystyle{ \ \int\limits_{\partial D} \left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy. }[/math]

Вывод из теоремы Стокса

Определяя дифференциальную форму [math]\displaystyle{ \omega=L\,dx+M\,dy }[/math], найдём её внешний дифференциал:

[math]\displaystyle{ d\omega=\left(\dfrac{\partial L}{\partial x}\,dx+\dfrac{\partial L}{\partial y}\,dy\right)\wedge dx+\left(\dfrac{\partial M}{\partial x}\,dx+\dfrac{\partial M}{\partial y}\,dy\right)\wedge dy. }[/math]

Принимая во внимание, что [math]\displaystyle{ dx\wedge dx=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ dy\wedge dy=0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ d\omega=\underset{-\frac{\partial L}{\partial y}\,dx\,\wedge\,dy}{\underbrace{\dfrac{\partial L}{\partial y}\,dy\wedge dx}}+\dfrac{\partial M}{\partial x}\,dx\wedge dy=\left(\dfrac{\partial M}{\partial x}-\dfrac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\wedge dy. }[/math]

Отсюда используя теорему Стокса:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy. }[/math]

■

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

Часто называется просто формулой Стокса. Пусть [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] — кусочно-гладкая поверхность ([math]\displaystyle{ p=2 }[/math]) в трёхмерном евклидовом пространстве ([math]\displaystyle{ n=3 }[/math]), [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура [math]\displaystyle{ \partial\Sigma }[/math] равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math], ограниченную контуром:

[math]\displaystyle{ \int\limits_\Sigma\mathrm{rot}\,\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_{\partial\Sigma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, }[/math]

или в координатной записи:

[math]\displaystyle{ \iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\int\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz. }[/math]

Часто в правой части пишут интеграл по замкнутому контуру.

Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму [math]\displaystyle{ \omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz }[/math]. Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы [math]\displaystyle{ d(\omega_F^1)=\omega_{\mathrm{rot}\,F}^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ d\omega=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\wedge dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\wedge dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\wedge dy. }[/math]

Отсюда, используя теорему Стокса:

[math]\displaystyle{ \iint\limits_\Sigma\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\int\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz. }[/math]

■

Доказательство с использованием формулы Грина

Пусть [math]\displaystyle{ \mathbf r=\mathbf r(u(t),v(t)) }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \int _{\partial \Sigma} (\mathbf a, d \mathbf r) = \int _ \alpha ^ \beta ((\mathbf a (\mathbf r(u(t),v(t)))),r_u(u(t),v(t)) u'(t)+ r_v(u(t),v(t))v'(t)) dt = \int _ \Omega (a, r_u)du+(a,r_v)dv. }[/math]

Отсюда, используя формулу Грина, получаем [math]\displaystyle{ \int _ {\partial \Sigma} (\mathbf a, d \mathbf r) = \iint _ \Omega \left[\frac{\partial} {\partial u} {(\mathbf a, \mathbf r_v)} - \frac{\partial}{\partial v}{(\mathbf a, \mathbf r_u)} \right] du dv ={} }[/math]

[math]\displaystyle{ {}=\iint _ \Omega \left( \frac{\partial \mathbf a}{\partial x} x_u + \frac{\partial \mathbf a}{\partial y} y_u + \frac{\partial \mathbf a}{\partial z} z_u, \mathbf r_v \right) du dv - \iint _ \Omega \left( \frac{\partial \mathbf a}{\partial x} x_v + \frac{\partial \mathbf a}{\partial y} y_v + \frac{\partial \mathbf a}{\partial z} z_v, \mathbf r_u \right) du dv }[/math] [math]\displaystyle{ {}=\iint _ \Omega [(\mathbf r_v, (\mathbf r_u, \nabla), \mathbf a) - (\mathbf r_u, (\mathbf r_v, \nabla), \mathbf a) ] du dv, }[/math] что по определению вихря и есть требуемая величина:

[math]\displaystyle{ \iint _ \Omega [(\mathbf r_v, (\mathbf {r_u}, \nabla), \mathbf a) - (\mathbf {r_u}, (\mathbf {r_v}, \nabla), \mathbf a) ] du dv =\iint _{\Omega} ({r_u}, {r_v}, \operatorname{rot}\; \mathbf a) du dv = \iint _ {\Sigma} (\operatorname{rot}\; \mathbf a, \mathbf n) dS. }[/math] ■

Формула Остроградского — Гаусса

Пусть теперь [math]\displaystyle{ \partial V }[/math] — кусочно-гладкая гиперповерхность ([math]\displaystyle{ p=n-1 }[/math]), ограничивающая некоторую область [math]\displaystyle{ V }[/math] в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области [math]\displaystyle{ \partial V }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}. }[/math]

В трёхмерном пространстве [math]\displaystyle{ (n=3) }[/math] с координатами [math]\displaystyle{ \{x, y, z\} }[/math] это эквивалентно записи:

[math]\displaystyle{ \ \int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dV }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \iint\limits_{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz. }[/math]

Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму [math]\displaystyle{ \omega=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy }[/math]. Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы [math]\displaystyle{ d(\omega_F^2)=\omega_{\mathrm{div}\,F}^3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ d\omega=\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\wedge dy\wedge dz. }[/math]

Отсюда, используя теорему Стокса:

[math]\displaystyle{ \iint\limits_{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz. }[/math]

■

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — Т. 3
Арнольд В. И. Математические методы классической механики (djvu) (недоступная ссылка) (недоступная ссылка с 18-05-2013 [4211 дней] — история)
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

См. также