Арифметико-геометрическая прогрессия

Арифметико-геометрическая прогрессия — последовательность чисел [math]\displaystyle{ u_{n} }[/math], задаваемая рекуррентным соотношением [math]\displaystyle{ u_{n+1}=qu_{n}+d }[/math], где [math]\displaystyle{ q }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] — константы. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при [math]\displaystyle{ q=1 }[/math]) и геометрическая прогрессия (при [math]\displaystyle{ d=0 }[/math]).

Формула для общего члена

Рассмотрим исходное соотношение: [math]\displaystyle{ u_{n+1}=qu_{n}+d }[/math] при [math]\displaystyle{ n=1, 2, ... }[/math]

Пусть в этом соотношении [math]\displaystyle{ q \neq 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ d \neq 0 }[/math]. Прибавив к обеим частям выражение [math]\displaystyle{ \frac{d}{q-1} }[/math], получаем

[math]\displaystyle{ u_{n + 1} + \dfrac{d}{q - 1} = q \left( u_n + \dfrac{d}{q - 1} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ u_n + \dfrac{d}{q - 1} = q \left( u_{n - 1} + \dfrac{d}{q - 1} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ u_3 + \dfrac{d}{q - 1} = q \left( u_2 + \dfrac{d}{q - 1} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ u_2 + \dfrac{d}{q - 1} = q \left( u_1 + \dfrac{d}{q - 1} \right) }[/math]

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

[math]\displaystyle{ u_{n+1} = q^{n}(u_{1}+\frac{d}{q-1})- \frac{d}{q-1} }[/math]

Свойства

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

[math]\displaystyle{ u_{n+1} = (q+1)u_{n}-qu_{n-1} }[/math]

• Разность [math]\displaystyle{ d }[/math] арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

[math]\displaystyle{ d = \frac{u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}} }[/math]

• Последовательность [math]\displaystyle{ a_{n}=u_{n+1}-u_{n} }[/math] является геометрической прогрессией с тем же знаменателем [math]\displaystyle{ q }[/math].

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

[math]\displaystyle{ S_{n+1}=(q+2)S_{n}-(2q+1)S_{n-1}+qS_{n-2} }[/math]

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.