Матрица Якоби

Матрица Яко́би отображения [math]\displaystyle{ \mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x\in \R^n }[/math] описывает главную линейную часть произвольного отображения [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math].

Определение

Пусть задано отображение [math]\displaystyle{ \mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m)^T, u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m , }[/math] имеющее в некоторой точке [math]\displaystyle{ x }[/math] все частные производные первого порядка. Матрица [math]\displaystyle{ J }[/math], составленная из частных производных этих функций в точке [math]\displaystyle{ x }[/math], называется матрицей Якоби данной системы функций.

[math]\displaystyle{ J(x) = \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ {\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix} }[/math]

Иными словами, матрица Якоби является производной векторной функции от векторного аргумента.

Связанные определения

Если [math]\displaystyle{ m = n }[/math], то определитель [math]\displaystyle{ |J| }[/math] матрицы Якоби называется определителем Якоби или якобиа́ном системы функций [math]\displaystyle{ u_1, \ldots, u_n }[/math].
Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимально возможный ранг; то есть,
[math]\displaystyle{ \mathrm{rank}\,J = \min(m,n) }[/math]

Свойства

Если все [math]\displaystyle{ u_i }[/math] непрерывно дифференцируемы в окрестности [math]\displaystyle{ \mathbf{x}_0 }[/math], то
[math]\displaystyle{ \mathbf{u}(x)=\mathbf{u}(x_0)+J(x_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|) }[/math]
Пусть [math]\displaystyle{ \varphi\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m ,~\psi\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k }[/math] — дифференцируемые отображения, [math]\displaystyle{ J_\varphi,J_\psi }[/math] — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):
[math]\displaystyle{ J_{\psi \circ \varphi}(x) = J_\psi(\varphi(x)) J_\varphi(x) }[/math]

См. также

Якобиан