Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора — его использовали ещё в XIV веке в Индии, а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка. Ряды Тейлора состоят из бесконечной суммы слагаемых. Каждый последующее слагаемое имеет более высокий показатель степени чем предыдущее. Чем больше берется слагаемых ряда для аппроксимации функции, тем точнее значение функции.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение

1. Многочленом Тейлора функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] вещественной переменной [math]\displaystyle{ x }[/math], дифференцируемой [math]\displaystyle{ k }[/math] раз в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] (то есть, [math]\displaystyle{ f^{(n)} }[/math] - производная [math]\displaystyle{ n }[/math]-порядка), называется конечная сумма

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^k \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k }[/math], (1)

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при [math]\displaystyle{ x-a=h \to 0 }[/math] верно [math]\displaystyle{ f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h +O(h^2)\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x - a) }[/math].

При записи суммы использованы обозначение [math]\displaystyle{ f^{(0)}(x)=f(x) }[/math] и соглашение о произведении по пустому множеству: [math]\displaystyle{ 0!=1 }[/math], [math]\displaystyle{ (x - a)^0=1 }[/math].

2. Рядом Тейлора в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] вещественной переменной [math]\displaystyle{ x }[/math], бесконечно дифференцируемой в окрестности точки [math]\displaystyle{ a }[/math], называется формальный степенной ряд

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi_{n}(x;a) }[/math] с общим членом [math]\displaystyle{ \varphi_{n}(x;a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x - a)^n }[/math], зависящим от параметра [math]\displaystyle{ a }[/math].

Другими словами, рядом Тейлора функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена [math]\displaystyle{ (x - a) }[/math]:

[math]\displaystyle{ f(x) = f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \ldots\, }[/math].

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в окрестности точки [math]\displaystyle{ a }[/math] не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки [math]\displaystyle{ a }[/math].

3. Рядом Тейлора в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] комплексной переменной [math]\displaystyle{ z }[/math], удовлетворяющей в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ U\subseteq \mathbb C }[/math] точки [math]\displaystyle{ a }[/math] условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

[math]\displaystyle{ f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n }[/math].

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math], что в [math]\displaystyle{ D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|\lt R\}\subseteq U }[/math] ряд сходится к функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math].

4. В случае [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] ряд

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n }[/math]

называется рядом Маклорена.

Пример разложения функции

Разложим функцию [math]\displaystyle{ sin(x) }[/math] используя ряд Тейлора. Чтобы применить формулу многочлена Тейлора (1) необходимо найти производные функции [math]\displaystyle{ sin(x) }[/math] (См. Производные экспоненциальных и логарифмических функций):

[math]\displaystyle{ sin^{'}(x)=cos(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ sin^{(2)}(x)=− sin(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ sin^{(3)}(x)=− cos(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ sin^{(4)}(x)=sin(x) }[/math].

Как видно, после производной четвертого порядка [math]\displaystyle{ sin^{4}(x)=sin(x) }[/math] значение производной пятого и последующих порядков повторяют производную первого и последующих порядков. Значение функции и ее производных в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] будут равны:

[math]\displaystyle{ sin(0)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ sin^{'}(0)=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ sin^{(2)}(0)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ sin^{(3)}(x)=−1 }[/math]

[math]\displaystyle{ sin^{(4)}(x)=0 }[/math].

И дальше, для производных более высоких порядков, эта последовательность повторяется. Многочлен Тейлора (1) для функции [math]\displaystyle{ sin(x) }[/math] приобретет вид:

[math]\displaystyle{ sin(x) = sin(0)+ sin^{'}(0)(x - 0) + \frac{sin^{(2)}(0)}{2!}(x - 0)^2 + \frac{sin^{(3)}(0)}{3!}(x - 0)^3 + }[/math]

[math]\displaystyle{ + \frac{sin^{(4)}(0)}{4!}(x - 0)^4 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = 0 + 1x + 0x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + }[/math]

[math]\displaystyle{ + 0x^4 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k }[/math]

Таким образом, функция [math]\displaystyle{ sin(x) }[/math] в результате разложения приобретает вид:

[math]\displaystyle{ sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k }[/math]

Имея достаточное количество членов ряда мы можем подсчитать значение функции [math]\displaystyle{ sin(x) }[/math] для любого значения аргумента [math]\displaystyle{ x }[/math].

• Графики разложения функции в ряд Тейлора. Чем больше членов, тем точнее разложение
• 

  Разложение функции с одним членом [math]\displaystyle{ sin(x) = x }[/math]

• 

  Разложение функции с двумя членами [math]\displaystyle{ sin(x) = x- \frac{x^3}{3!} }[/math]

• 

  Разложение функции с тремя членами [math]\displaystyle{ sin(x) = x- \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} }[/math]

• 

  Разложение функции с тремя членами [math]\displaystyle{ sin(x) = x- \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!} }[/math]

• 

  Функции [math]\displaystyle{ y=sin(x) }[/math], к которой приближается разложение.

Аналитическая функция

1. Функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] вещественной переменной [math]\displaystyle{ x }[/math] называется аналитической в точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math], если существуют такой радиус [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math] и такие коэффициенты [math]\displaystyle{ c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\, }[/math], [math]\displaystyle{ k=0,1,2,\dots\, }[/math], что [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] может быть представлена в виде сходящегося на интервале [math]\displaystyle{ (a-R; a+R) }[/math] степенного ряда: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(x - a)}^k}}\, }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \forall x \in (a-R; a+R) }[/math] [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty}\,\sum\limits_{k = 0}^{n} {{c_k}{{(x - a)}^k}}=f(x) }[/math].

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}} }[/math] на любом компактном подмножестве [math]\displaystyle{ K }[/math] области сходимости [math]\displaystyle{ D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|\lt R\} }[/math] допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в [math]\displaystyle{ k }[/math]-ю производную функции [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}} }[/math] подставить [math]\displaystyle{ z=a }[/math], то получится [math]\displaystyle{ {c_k}\cdot k! }[/math].

Таким образом, для аналитической в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math] всюду в [math]\displaystyle{ D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|\lt R\} }[/math] является верным представление [math]\displaystyle{ f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (z - a)^k }[/math].

Следствие. Функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] вещественной переменной [math]\displaystyle{ x }[/math] является аналитической в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром [math]\displaystyle{ a }[/math] на некотором открытом интервале, содержащем точку [math]\displaystyle{ a }[/math].

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] вещественного переменного [math]\displaystyle{ x }[/math] её ряд Тейлора [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^k }[/math] сходиться к [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] всюду на каком-нибудь интервале [math]\displaystyle{ (a-R; a+R) }[/math], то есть представима ли [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности [math]\displaystyle{ a }[/math].

Примеры. Функции вещественной переменной [math]\displaystyle{ f_{2}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} {e^{ - \frac{1}{{x^{2} }}}},& x \ne 0\\ 0,& x = 0 \end{array} \right.\, }[/math], [math]\displaystyle{ f_{+}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} {e^{ - \frac{1}{x}}},& x \gt 0\\ 0,&x \le 0 \end{array} \right.\, }[/math], [math]\displaystyle{ f_{\rm v}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} {e^{ - \frac{1}{{|x|}}}},& x \ne 0\\ 0,& x = 0 \end{array} \right.\, }[/math] являются бесконечно дифференцируемыми в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math], причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] тождественно равны нулю. Однако, для любого [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math] в окрестности [math]\displaystyle{ (-R; +R) }[/math] точки [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] найдутся точки, в которых функции отличны от [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. Таким образом, эти функции не являются в точке [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции [math]\displaystyle{ f(x)=f_{2}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} {e^{ - \frac{1}{x^{2}}} },& x \ne 0\\ 0,& x = 0 \end{array} \right.\, }[/math], предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция [math]\displaystyle{ \exp\left( - \frac{1}{z^2}\right) }[/math], является аналитической функцией комплексной переменной для всех [math]\displaystyle{ z\in\overline{\mathbb C}\setminus\{0\} }[/math].

Для [math]\displaystyle{ z \neq 0 }[/math] очевидно, что [math]\displaystyle{ \frac{d}{dz}\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right) =\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)\cdot \left( \frac{2}{z^3}\right) }[/math].

Функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] для [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] — это «исправленная» функция [math]\displaystyle{ \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ x \in \mathbb R\setminus\{0\} }[/math], дополненная пределами слева [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0, x\lt 0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0 }[/math] и справа [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0, x\gt 0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0 }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math].

Найдём производную функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]. По определению: [math]\displaystyle{ f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0, \Delta x\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(h) - 0}{h} = \frac{0}{0} = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f'(h)}{h'} =\lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}} }[/math].

Поскольку для [math]\displaystyle{ x \in (0;1) }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ 0\lt e^{ - \frac{1}{x^{2}}} \lt e^{ - \frac{1}{x}} }[/math], то докажем, что для произвольного [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math] верно [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0, x\gt 0}\frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} = 0 }[/math].

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0, x\gt 0}e^{ - \frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0, x\gt 0}x^{\alpha}=0 }[/math] не приводит к результату.

Выполним замену переменной: [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} = t }[/math]:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0, x\gt 0} \frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} = \frac{+\infty}{+\infty} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha t^{\alpha-1}}{e^t} }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ k =\lceil \alpha \rceil }[/math]. Применяя правило Лопиталя [math]\displaystyle{ k }[/math] раз, в числителе получим либо (при [math]\displaystyle{ \alpha=k }[/math]) константу [math]\displaystyle{ k! }[/math], либо (при [math]\displaystyle{ \alpha\lt k }[/math]) бесконечно малую [math]\displaystyle{ \alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} = \frac{+\infty}{+\infty} = \ldots = \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}}{e^t}=0 }[/math].

Таким образом,

[math]\displaystyle{ f'(0) = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}=0 }[/math].

Найдём (для [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math]) несколько начальных производных функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{{2f(x)}}{{{x^3}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ f''(x) = \left( {\frac{{2f(x)}}{{{x^3}}}} \right)' = 2\left( {f'(x)\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) = 2\left( {\frac{{2f(x)}}{{{x^3}}}\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) = 2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ f'''(x) = \left( {2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right)} \right)' = 4f(x)\left( {\frac{2}{{{x^9}}} - \frac{3}{{{x^7}}} + \frac{6}{{{x^5}}} - \frac{6}{{{x^7}}}} \right) }[/math]

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] на сумму целых отрицательных степеней [math]\displaystyle{ x }[/math]. Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0, x\in\mathbb R\setminus\{0\}}f^{(k)}(x) = 0 }[/math].

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math], обнаруживаем, что все производные в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] равны нулю.

Область сходимости ряда Тейлора

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке [math]\displaystyle{ a }[/math]) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке [math]\displaystyle{ a }[/math]) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1 - x} }[/math] может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: [math]\displaystyle{ \frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{x^k}} }[/math] (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция [math]\displaystyle{ \frac{1}{1 - x} }[/math] определена для всех действительных чисел, кроме точки [math]\displaystyle{ x=1 }[/math], то ряд [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k = 0}^\infty {x^k} }[/math] сходится только при условии [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math].

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

[math]\displaystyle{ R = \lim_{k \to \infty} \left| {\dfrac{{\dfrac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}}}{{\dfrac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}{{(k + 1)!}}}}} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{{f^{(k + 1)}}(a)}}(k + 1)} \right| }[/math].

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию [math]\displaystyle{ e^x }[/math]. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен [math]\displaystyle{ R=\lim_{k \to \infty}\left| {\frac{{{e^a}}}{{{e^a}}}(k + 1)} \right| = \lim_{k \to \infty}(k + 1) = \infty }[/math]. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси [math]\displaystyle{ x }[/math] для любого параметра [math]\displaystyle{ a }[/math].

4. От параметра — точки разложения [math]\displaystyle{ a }[/math] ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного [math]\displaystyle{ a }[/math]) в ряд Тейлора функцию [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{{1 - x}} }[/math]: [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{1 - a}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( {\frac{{x - a}}{{1 - a}}} \right)}^k}} }[/math].

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента [math]\displaystyle{ x }[/math], при любых значениях [math]\displaystyle{ a }[/math] (кроме [math]\displaystyle{ a=1 }[/math]) имеет один и тот же вид.

Действительно,

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1 - a}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}{{\left( \frac{x - a}{1 - a} \right)}^k} = \frac{1}{1 - a} \cdot \frac{1}{1 - \left( \dfrac{x - a}{1 - a} \right)} = \frac{1}{1 - x} }[/math].

Область сходимости ряда может быть задана неравенством [math]\displaystyle{ \left| \frac{x - a}{1 - a} \right| \lt 1 }[/math]. И теперь эта область зависит от [math]\displaystyle{ a }[/math]. Например, для [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] ряд сходится при [math]\displaystyle{ x \in ( - 1;1) }[/math]. Для [math]\displaystyle{ a=0{,}5 }[/math] ряд сходится при [math]\displaystyle{ x \in ( 0;1) }[/math].

Формула Тейлора

Предположим, что функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] имеет все производные до [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку [math]\displaystyle{ x=a }[/math]. Найдем многочлен [math]\displaystyle{ {P_n}(x) }[/math] степени не выше [math]\displaystyle{ n }[/math], значение которого в точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math] равняется значению функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в этой точке, а значения его производных до [math]\displaystyle{ n }[/math]-го порядка включительно в точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math] равняются значениям соответствующих производных от функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид [math]\displaystyle{ {P_n}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}{{(x - a)}^k}} }[/math], то есть это [math]\displaystyle{ n }[/math]-я частичная сумма ряда Тейлора функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Разница между функцией [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и многочленом [math]\displaystyle{ {P_n}(x) }[/math] называется остаточным членом и обозначается [math]\displaystyle{ {R_n}(x)=f(x)-{P_n}(x) }[/math]. Формула [math]\displaystyle{ f(x)={P_n}(x)+{R_n}(x) }[/math] называется формулой Тейлора. Остаточный член дифференцируем [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] раз в рассматриваемой окрестности точки [math]\displaystyle{ a }[/math]. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] имеет [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] производную на отрезке с концами [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ x }[/math], то для произвольного положительного числа [math]\displaystyle{ p }[/math] найдётся точка [math]\displaystyle{ \xi }[/math], лежащая между [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ x }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi). }[/math]

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

[math]\displaystyle{ R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 \lt \theta \lt 1 }[/math]

Вывод

Продифференцируем по [math]\displaystyle{ x }[/math] обе части формулы Тейлора [math]\displaystyle{ n }[/math] раз:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} 1)f(x)' = f(a)' + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{(k - 1)!}}{{(x - a)}^{k - 1}}} + {R_n}(x)'\\ 2)f(x)'' = f(a)'' + \sum\limits_{k = 3}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{(k - 2)!}}{{(x - a)}^{k - 2}}} + {R_n}(x)''\\ ...\\ n - 1)f{(x)^{(n - 1)}} = f{(a)^{(n - 1)}} + {f^{(n)}}(a)(x - a) + {R_n}{(x)^{(n - 1)}}\\ n)f{(x)^{(n)}} = {f^{(n)}}(a) + {R_n}{(x)^{(n)}} \end{array} }[/math]

(Отсюда, в частности, видно, что [math]\displaystyle{ {R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)'' = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 }[/math] — это свойство остаточного члена в любой форме.)

По теореме Лагранжа (поскольку [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] соответствует условиям теоремы) существует такая точка [math]\displaystyle{ \xi }[/math] между [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ a }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ \xi }[/math] не равно ни [math]\displaystyle{ x }[/math], ни [math]\displaystyle{ a }[/math]), что [math]\displaystyle{ f{(x)^{(n)}} - {f^{(n)}}(a) = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) }[/math]. Отсюда [math]\displaystyle{ {R_n}{(x)^{(n)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) }[/math]. Продифференцируем последнее тождество ещё раз по [math]\displaystyle{ x }[/math] и получим [math]\displaystyle{ {R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} }[/math].

Пусть остаточный член задан в виде [math]\displaystyle{ {R_n}(x) = \frac{{f{{(\xi )}^{(n + 1)}}{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}} }[/math]. Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math], во-вторых, [math]\displaystyle{ {R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} }[/math]. В конце ещё можно сделать замену переменной: [math]\displaystyle{ \xi = a + \theta (x - a),\qquad 0 \lt \theta \lt 1 }[/math]. Формула выведена.

В форме Коши:

[math]\displaystyle{ R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 \lt \theta \lt 1 }[/math]

В интегральной форме:

[math]\displaystyle{ R_{n}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt }[/math]

Вывод

Методом интегрирования по частям получим [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} {R_n}(x) = \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}{f^{(n + 1)}}(t)dt} = \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}d{f^{(n)}}(t)} = \frac{1}{{n!}}\left. {\left( {{{(x - t)}^n}{f^{(n)}}(t)} \right)} \right|_a^x - \frac{1}{{n!}}\int\limits_a^x {{f^{(n)}}(t)d} {(x - t)^n} = \\ = \frac{1}{{(n - 1)!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^{n - 1}}{f^{(n)}}(t)d} t - \frac{{{{(x - a)}^n}{f^{(n)}}(a)}}{{n!}} = ... = \int\limits_a^x {f'(t)d} t - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}} = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}} \end{array} }[/math]

откуда

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}} + {R_n}(x) }[/math]

Ослабим предположения:

• Пусть функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] имеет [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] производную в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math]-ю производную в самой точке [math]\displaystyle{ a }[/math], тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

[math]\displaystyle{ R_{n}(x) = o[(x - a)^n ] }[/math]

Вывод

Поскольку [math]\displaystyle{ {R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)'' = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 }[/math], то предел отношения [math]\displaystyle{ \frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} }[/math] при [math]\displaystyle{ x }[/math], стремящемся к [math]\displaystyle{ a }[/math], может быть найден по правилу Лопиталя: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)'}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)'}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)''}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)''}} = ... = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}{{{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)}^{(n)}}}} = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}{{n!}} = 0 }[/math]

Поскольку предел равен нулю, это значит, что остаточный член [math]\displaystyle{ R_{n}(x) }[/math] является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем [math]\displaystyle{ (x - a)^n }[/math], при [math]\displaystyle{ x \to a }[/math]. А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Основной источник:

Предположим, что некоторую функцию [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math]. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке [math]\displaystyle{ a }[/math], и её ряд Тейлора с параметром [math]\displaystyle{ a }[/math] может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка [math]\displaystyle{ x=a }[/math], потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку [math]\displaystyle{ a }[/math]. Пусть ряд Тейлора с параметром [math]\displaystyle{ a }[/math] такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех [math]\displaystyle{ x }[/math] из окрестности [math]\displaystyle{ a }[/math] по формуле Тейлора можно записать [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = \lim_{n \to \infty}(f(x)-P_n(x))=f(x)-\lim_{n \to \infty}P_n(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}P_n(x) }[/math] — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] является аналитической в точке [math]\displaystyle{ a }[/math] тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки [math]\displaystyle{ a }[/math] существует непрерывная область [math]\displaystyle{ X }[/math] такая, что для всех [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом [math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0 }[/math].

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию [math]\displaystyle{ e^x }[/math]. Её ряд Тейлора сходится на всей оси [math]\displaystyle{ x }[/math] для любых параметров [math]\displaystyle{ a }[/math]. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках [math]\displaystyle{ a }[/math].

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид [math]\displaystyle{ {R_n}(x) = \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}{e^{\xi_n} } }[/math], где [math]\displaystyle{ \xi_n }[/math] — некоторое число, заключенное между [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ a }[/math] (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}{R_n}(x) =\lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}{e^{\xi_n} }\leq M\cdot \lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}=0 }[/math]

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом [math]\displaystyle{ M }[/math]

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ a }[/math].

Ряды Маклорена некоторых функций

• Экспонента: [math]\displaystyle{ \displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C} }[/math]
• Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): [math]\displaystyle{ \displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} = \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n}, }[/math] для всех [math]\displaystyle{ -1\lt x \le 1 }[/math]
• Биномиальное разложение: [math]\displaystyle{ \displaystyle(1+x)^\alpha = 1+\sum\limits^{\infin}_{n=1} \binom \alpha n x^n, }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left| x \right| \lt 1 }[/math] и всех комплексных [math]\displaystyle{ \alpha, }[/math] где [math]\displaystyle{ \displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} }[/math]
  • Квадратный корень: [math]\displaystyle{ \displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \dfrac{5x^4}{128} + \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n, }[/math] для всех [math]\displaystyle{ |x| \le 1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = 1 + \sum\limits^{\infin}_{n=1} x^n, }[/math] для всех [math]\displaystyle{ |x| \lt 1 }[/math]
  • Конечный геометрический ряд: [math]\displaystyle{ \displaystyle\dfrac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n, }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0 }[/math]
• Тригонометрические функции:
  • Синус: [math]\displaystyle{ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} }[/math]
  • Косинус: [math]\displaystyle{ \displaystyle\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, x\in\mathbb{C} }[/math]
  • Тангенс: [math]\displaystyle{ \displaystyle\operatorname{tg}\ x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}, }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left| x \right| \lt \dfrac{\pi}{2}, }[/math] где [math]\displaystyle{ B_{2n} }[/math] — числа Бернулли
  • Секанс: [math]\displaystyle{ \displaystyle\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left| x \right| \lt \dfrac{\pi}{2} }[/math] где [math]\displaystyle{ E_{2n} }[/math] — числа Эйлера
  • Арксинус: [math]\displaystyle{ \displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left| x \right| \le 1 }[/math]
  • Арккосинус: [math]\displaystyle{ \displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left| x \right| \le 1 }[/math]
  • Арктангенс: [math]\displaystyle{ \displaystyle\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left| x \right| \le 1 }[/math]
• Гиперболические функции:
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{th}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left|x\right| \lt \dfrac{\pi}{2} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{arsh}x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left| x \right| \lt 1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{arth}x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \left| x \right| \lt 1 }[/math]

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] имеет непрерывные производные до [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]-го порядка включительно в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math]. Введём дифференциальный оператор

[math]\displaystyle{ \mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y} }[/math].

Тогда разложение (формула Тейлора) функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] по степеням [math]\displaystyle{ (x-x_0)^p (y-y_0)^q }[/math] для [math]\displaystyle{ p+q\leq n }[/math] в окрестности точки [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] будет иметь вид

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y), }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_n(x,y) }[/math] — остаточный член в форме Лагранжа:

[math]\displaystyle{ R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y] }[/math]

Следует иметь в виду, что операторы [math]\displaystyle{ \dfrac {\partial} {\partial x} }[/math] и [math]\displaystyle{ \dfrac {\partial} {\partial y} }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathrm{T}^{k} }[/math] действуют только на функцию [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math], но не на [math]\displaystyle{ (x-x_0) }[/math] и/или [math]\displaystyle{ (y-y_0) }[/math].

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math].

В случае функции одной переменной [math]\displaystyle{ \mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {d}{dx}\, }[/math].

Формула Тейлора многих переменных

Для получения формулы Тейлора функции [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных [math]\displaystyle{ f(x_1, x_2, ... x_n) }[/math], которая в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) }[/math] имеет непрерывные производные до [math]\displaystyle{ (m+1) }[/math]-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

[math]\displaystyle{ \mathrm{T}=(x_1-a_{1})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-a_{2})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-a_{n})\dfrac {\partial} {\partial x_n}. }[/math]

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням [math]\displaystyle{ (x_i-a_{i})^{k_i} }[/math] в окрестности точки [math]\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) }[/math] имеет вид

[math]\displaystyle{ f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^m \dfrac {\mathrm{T}^k f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})} {k!} + R_m(x_1, x_2, ... x_n), }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_m(x_1, x_2, ... x_n) }[/math] — остаточный член порядка [math]\displaystyle{ (m+1) }[/math].

Для функции [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) }[/math], ряд Тейлора имеет вид

[math]\displaystyle{ f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k_1=0}^\infty\sum\limits_{k_2=0}^\infty...\sum\limits_{k_n=0}^\infty C_{k_1,k_2,...k_n}(x_1-a_{1})^{k_1}(x_2-a_{2})^{k_2}...(x_n-a_{n})^{k_n} }[/math],

где

[math]\displaystyle{ C_{k_1,k_2,...k_n}=\dfrac{1}{k_1!k_2!...k_n!}\dfrac {\partial^{k_1+k_2+...+k_n}} {\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}...\partial x_n^{k_n}}f(x_1,x_2,...x_n)|_{x_1=a_{1},x_2=a_{2},...,x_n=a_{n}} }[/math]

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math] в окрестности точки [math]\displaystyle{ (0, 0, 0) }[/math] до второго порядка малости. Оператор [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math] будет иметь вид

[math]\displaystyle{ \mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}. }[/math]

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

[math]\displaystyle{ f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_2(x, y, z) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_2(x, y, z); }[/math]

Учитывая, что

[math]\displaystyle{ T^2 = x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z}, }[/math]

получим

[math]\displaystyle{ f(x, y, z)= f_0 + x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z} + \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} + }[/math]

[math]\displaystyle{ + xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z} + R_2(x, y, z). }[/math]

Например, при [math]\displaystyle{ f(x,y,z)=e^{x+y+z} }[/math],

[math]\displaystyle{ f(x, y, z)= 1 + x + y + z + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2} + xy + xz + yz + R_2(x, y, z). }[/math]

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — Т. 1: Начала теории. — 486 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10—24.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — 432 с.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 2. — 560 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. — Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0.