Показательная функция

Показательная функция — математическая функция [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] называется основанием степени, а [math]\displaystyle{ x }[/math] — показателем степени.

• В вещественном случае основание степени [math]\displaystyle{ a }[/math] — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
• В самом общем виде — [math]\displaystyle{ u^v }[/math], введена Лейбницем в 1695 г.

График экспоненты

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание [math]\displaystyle{ a }[/math] может быть представлено в виде степени числа е, понятие «экспонента» часто употребляют вместо понятия «показательная функция».

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть [math]\displaystyle{ a }[/math] — неотрицательное вещественное число, [math]\displaystyle{ x }[/math] — рациональное число: [math]\displaystyle{ x=\frac{m}{n} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ a^x }[/math] определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

• Если [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ a^x=\sqrt[n]{a^m} }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ a \ne 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ a^x=1 }[/math].
  • Значение [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] не определено (см. Ноль в степени ноль).
• Если [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ a^x=\frac {1} {a^{|x|}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{|m|}}} }[/math].
  • Значение [math]\displaystyle{ a^x }[/math] при [math]\displaystyle{ x\lt 0, a=0 }[/math] не определено.

Для произвольного вещественного показателя [math]\displaystyle{ x }[/math] значение [math]\displaystyle{ a^x }[/math] можно определить как предел последовательности

[math]\displaystyle{ a^x = \lim_{n\to\infty} a^{r_n} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \{r_n\} }[/math] — последовательность рациональных чисел, сходящихся к [math]\displaystyle{ x }[/math]. То есть

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} r_n = x }[/math]

Свойства

Свойства возведения в степень:

• [math]\displaystyle{ a^0 = 1 }[/math]
• [math]\displaystyle{ a^{x+y} = a^x \, a^y }[/math]
• [math]\displaystyle{ (a^x)^y = a^{xy} }[/math]
• [math]\displaystyle{ (ab)^x = a^x \, b^x }[/math]
• [math]\displaystyle{ a^x }[/math] / [math]\displaystyle{ b^x }[/math] = [math]\displaystyle{ (a/b)^x }[/math]

Промежутки монотонности:

Показательная функция с основаниями 2 и 1/2

При [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] показательная функция всюду возрастает, причём:

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}=0 }[/math] (для всякого [math]\displaystyle{ n }[/math])
• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}a^x = 0 }[/math]

При [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] функция, соответственно, убывает, причём:

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^n}{a^x}=0 }[/math] (для всякого [math]\displaystyle{ n }[/math])
• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}a^x = 0 }[/math]

То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Обратная функция:

По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:

[math]\displaystyle{ f(x)=a^x,\quad f^{-1}(x)=\log_{a}x }[/math] (логарифм [math]\displaystyle{ x }[/math] по основанию [math]\displaystyle{ a }[/math])

Число е:

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём [math]\displaystyle{ a_0:(a_0^x)'_x=a_0^x }[/math] (такое число [math]\displaystyle{ a }[/math], производная показательной функции которого равна самой функции):

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}a_0^x = a_0^x\;\Leftrightarrow\;a_0^{x+dx}-a_0^x=a_0^x\,dx }[/math]

Возможность определения [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] легко увидеть после сокращения на [math]\displaystyle{ a_0^x }[/math]:

[math]\displaystyle{ a_0^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow\;a_0=\left(1+dx\right)^{1/dx} }[/math]

Выбирая [math]\displaystyle{ dx = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} }[/math], окончательно получим число Эйлера:

[math]\displaystyle{ a_0\equiv e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} }[/math]

Отметим, что функцию [math]\displaystyle{ e^x }[/math] можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots }[/math]

Откуда имеем более точное приближение:

[math]\displaystyle{ e = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} }[/math]

Единственность числа [math]\displaystyle{ e }[/math] легко показать, варьируя [math]\displaystyle{ e^x }[/math]. Действительно, если [math]\displaystyle{ e_1^x }[/math] пройдёт где-то выше, чем [math]\displaystyle{ e^x }[/math], то на том же промежутке найдётся область, где [math]\displaystyle{ (e_1^x)'\lt e^x }[/math].

Дифференцирование:

Используя функцию натурального логарифма [math]\displaystyle{ \ln \, x: e^{\ln x}=x }[/math], можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: [math]\displaystyle{ a^x = e^{\ln(a)\,x} }[/math], откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

[math]\displaystyle{ (a^x)'=\ln(a)a^x }[/math]

Неопределённый интеграл:

[math]\displaystyle{ \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C }[/math]

Потенцирование и антилогарифм

Изображение функции нахождения десятичного (10^x) и натурального (e^x) антилогарифмов в микрокалькуляторе «Электроника МК-51»

Потенцирование (от нем. potenzieren) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения [math]\displaystyle{ \log_a x = b }[/math]. Из определения логарифма вытекает, что [math]\displaystyle{ x = a^b }[/math], таким образом, возведение [math]\displaystyle{ a }[/math] в степень [math]\displaystyle{ b }[/math] может быть названо другими словами «потенцированием [math]\displaystyle{ b }[/math] по основанию [math]\displaystyle{ a }[/math]», или вычислением показательной функции от [math]\displaystyle{ b }[/math].

Антилогарифм числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании [math]\displaystyle{ a }[/math]) равен числу [math]\displaystyle{ x }[/math]:

[math]\displaystyle{ \operatorname{ant} \log _a {x} = a^x. }[/math]

Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах, логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа [math]\displaystyle{ a }[/math] по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа [math]\displaystyle{ a, }[/math] разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию [math]\displaystyle{ e }[/math] или 10 называется натуральным или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом.

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: [math]\displaystyle{ e^x }[/math] и [math]\displaystyle{ 10^x }[/math].

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

[math]\displaystyle{ e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots }[/math]

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для [math]\displaystyle{ e^{ix} }[/math] вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

[math]\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x }[/math]

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

[math]\displaystyle{ e^{z+2\pi i} = e^z }[/math]

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: [math]\displaystyle{ i^i=e^{i\cdot\ln(i)} }[/math]; поскольку [math]\displaystyle{ \ln (i) = i \frac{\pi} {2} }[/math] (главное значение логарифма), окончательно получаем: [math]\displaystyle{ i^i = e^{i \frac{i \pi} {2}} = e^{- \frac{\pi} {2}} }[/math].

См. также

• Возведение в степень
• Ограничение складывания бумаги пополам
• Степенная функция
• Экспонента

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0,. — ISBN 5-9221-0155-2.
• Антилогарифм // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.