Формула Остроградского — Гаусса
Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.
Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.
Формулировка
Поток вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] через замкнутую поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] равен интегралу от [math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf a }[/math] , взятому по объему [math]\displaystyle{ V }[/math], ограниченному поверхностью [math]\displaystyle{ S }[/math][1]
- [math]\displaystyle{ \iint\limits_S\mathbf{a}\cdot d\mathbf{s}= \iiint\limits_V\operatorname{div}\mathbf a\cdot d\mathbf{v} }[/math]
В координатной записи формула Остроградского-Гаусса принимает вид:
- [math]\displaystyle{ \iint\limits_S a_x\,dy\,dz + a_y\,dz\,dx + a_z\,dx\,dy= \iiint\limits_V\left(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_x, a_y, a_z }[/math] - проекции вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math]
- Следствия из теоремы Остроградского-Гаусса:
- 1) в соленоидальном поле ([math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf a=0 }[/math]) поток вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] через любую замкнутую поверхность равен нулю.
- 2) если внутри замкнутой поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math] имеется источник или сток, то поток вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math] через эту поверхность не зависит от ее формы.
Замечания
В работе Остроградского формула записана в следующем виде:
- [math]\displaystyle{ \int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\omega=\int(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\, ds, }[/math]
где [math]\displaystyle{ d\omega }[/math] и [math]\displaystyle{ ds }[/math] — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. [math]\displaystyle{ P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z) }[/math] — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью[2].
Современная запись формулы:
- [math]\displaystyle{ \int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)d\Omega=\int(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \cos\alpha\,{dS}={dy}{dz} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos\beta\,{dS}={dz}{dx} }[/math] и [math]\displaystyle{ \cos\gamma\,{dS}={dx}{dy} }[/math]. В современной записи [math]\displaystyle{ \omega=d\Omega }[/math] — элемент объёма, [math]\displaystyle{ s=dS }[/math] — элемент поверхности[2].
Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.
История
Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762[3].
Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики[4].
В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году[4]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от [math]\displaystyle{ n }[/math]-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации [math]\displaystyle{ n }[/math]-кратного интеграла.
За рубежом формула как правило называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».
См. также
Примечания
- ↑ "Математический словарь высшей школы" В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович. Издательство МПИ. статья "теорема Остроградского" страница 437.
- ↑ 2,0 2,1 Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 358 с.
- ↑ В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» Архивная копия от 15 мая 2016 на Wayback Machine в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Архивная копия от 13 мая 2016 на Wayback Machine Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.
- ↑ 4,0 4,1 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.
Литература
- Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
- Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).