Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] имеет производную в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], а функция [math]\displaystyle{ g }[/math] имеет производную в точке [math]\displaystyle{ y_0 = f(x_0) }[/math], то сложная функция [math]\displaystyle{ h(x) = g(f(x)) }[/math] также имеет производную в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, [math]\displaystyle{ f:U(x_0) \to V(y_0), }[/math] где [math]\displaystyle{ y_0 = f(x_0), }[/math] и [math]\displaystyle{ g:V(y_0) \to \R }[/math] Пусть также эти функции дифференцируемы: [math]\displaystyle{ f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0). }[/math] Тогда их композиция также дифференцируема: [math]\displaystyle{ h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0), }[/math] и её производная имеет вид:

[math]\displaystyle{ h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0). }[/math]

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции [math]\displaystyle{ y = y(x), }[/math] где [math]\displaystyle{ x = x(t), }[/math] принимает следующий вид:

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}. }[/math]

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции [math]\displaystyle{ z = g(y) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ dz = g'(y_0) \, dy, }[/math]

где [math]\displaystyle{ dy }[/math] — дифференциал тождественного отображения [math]\displaystyle{ y \to y_0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ dy(h) = h,\quad h \in \R. }[/math]

Пусть теперь [math]\displaystyle{ y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0). }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ dy = f'(x_0)\, dx }[/math], и согласно цепному правилу:

[math]\displaystyle{ dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy. }[/math]

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть [math]\displaystyle{ h(x) = {(3x^2 - 5x)}^7.\; }[/math] Тогда функция [math]\displaystyle{ h\; }[/math] может быть записана в виде композиции [math]\displaystyle{ h = g \circ f , }[/math] где

[math]\displaystyle{ f(x) = 3x^2-5x,\; }[/math]

[math]\displaystyle{ g(y) = y^7.\; }[/math]

Дифференцируя эти функции отдельно:

[math]\displaystyle{ f'(x) = 6x - 5,\; }[/math]

[math]\displaystyle{ g'(y) = 7y^6,\; }[/math]

получаем

[math]\displaystyle{ h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5). }[/math]

Многомерный случай

Пусть даны функции [math]\displaystyle{ f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n, }[/math] где [math]\displaystyle{ y_0 = f(x_0), }[/math] и [math]\displaystyle{ g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p. }[/math] Пусть также эти функции дифференцируемы: [math]\displaystyle{ f\in \mathcal{D}(x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ g \in \mathcal{D}(y_0). }[/math] Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

[math]\displaystyle{ dh(x_0) = dg(y_0) \circ df(x_0) }[/math].

В частности, матрица Якоби функции [math]\displaystyle{ h }[/math] является произведением матриц Якоби функций [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ f: }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}. }[/math]

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

  [math]\displaystyle{ \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_n)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}\right\vert. }[/math]

Для частных производных сложной функции справедливо

• [math]\displaystyle{ \frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial f(x_0)}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m. }[/math]

Пример

Пусть дана функция трёх переменных [math]\displaystyle{ h(x,y,z) = \sin x + \cos^2 (x+y+z) - \sqrt{2x^2 + 5y^3}\; }[/math] и требуется найти её частную производную по переменной [math]\displaystyle{ x }[/math]. Функция [math]\displaystyle{ h\; }[/math] может быть записана как [math]\displaystyle{ h(x,y,z) = f(u,v,w) , }[/math] где

[math]\displaystyle{ f(u,v,w) = u + v^2 + w,\; }[/math]

[math]\displaystyle{ u(x,y,z) = \sin x,\; }[/math]

[math]\displaystyle{ v(x,y,z) = \cos (x+y+z),\; }[/math]

[math]\displaystyle{ w(x,y,z) = - \sqrt{2x^2 + 5y^3}.\; }[/math]

Тогда частная производная функции [math]\displaystyle{ h }[/math] по переменной [math]\displaystyle{ x }[/math] будет иметь следующий вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x} }[/math]

Вычисляем производные:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u} = 1,\; \frac{\partial f}{\partial v} = 2v,\; \frac{\partial f}{\partial w} = 1,\; \frac{\partial u}{\partial x} = \cos x,\; \frac{\partial v}{\partial x} = -\sin (x+y+z),\; \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.\; }[/math]

Подставляем найденные производные:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial h}{\partial x} = 1 \cdot \cos x \quad + \quad 2 \cdot \Bigl( \cos (x+y+z) \Bigl) \cdot \Bigl( -\sin(x+y+z) \Bigl) \quad + \quad 1 \cdot \left( - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}} \right) }[/math]

В итоге

[math]\displaystyle{ \frac{\partial h}{\partial x} = \cos x - \sin(2x+2y+2z) - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}. }[/math]

См. также

• Формула Фаа-ди-Бруно