Методы интегрирования
Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.
Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл [math]\displaystyle{ \int F(x)dx. }[/math] Сделаем подстановку [math]\displaystyle{ x=\varphi(t), }[/math] где [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда [math]\displaystyle{ dx = \varphi'(t)\cdot dt }[/math] и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
- [math]\displaystyle{ \int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt. }[/math]
Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функцию вида [math]\displaystyle{ v(u(x)) }[/math] интегрируется следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \int v(u(x))dx = \int v(u(x)) \frac{d(u(x))}{d(u(x))/dx} = \int v(u(x)) \frac{d(u(x))}{u'_x}. }[/math]
Пример: Найти [math]\displaystyle{ \int x \sqrt{x-3}\,dx }[/math]
Решение: Пусть [math]\displaystyle{ \sqrt{x-3}=t }[/math], тогда [math]\displaystyle{ x-3=t^2, x=3+t^2, dx=2tdt }[/math].
[math]\displaystyle{ \int x \sqrt{x-3}\, dx=\int(t^2+3)t \cdot 2tdt=2 \int (t^4+3t^2)dt=2 \int t^4dt +6 \int t^2dt= \frac{2}{5}t^5 + \frac{6}{3}t^3+C= \frac{2}{5} \sqrt{x-3}^5+2 \sqrt{x-3}^3+C }[/math]
Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля
[math]\displaystyle{ t={d(\sqrt{x^2+px+q})\over dx}, }[/math]
применяемая для вычисления интегралов вида
[math]\displaystyle{ \int {dx\over(x^2+px+q)^{{m\over2}}}, }[/math]
где m натуральное число[1]. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Пусть требуется проинтегрировать выражение [math]\displaystyle{ R(\sin x,\cos x) }[/math], где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:
- если [math]\displaystyle{ R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x) }[/math], то применяется подстановка [math]\displaystyle{ t=\cos x }[/math][2];
- если [math]\displaystyle{ R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x) }[/math], то применяется подстановка [math]\displaystyle{ t=\sin x }[/math][2];
- если [math]\displaystyle{ R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x) }[/math], то применяется подстановка [math]\displaystyle{ t=\operatorname{tg} x }[/math][3].
Частный случай этого правила:
[math]\displaystyle{ \int \sin^m x \cdot \cos^n x \cdot dx }[/math]
Выбор подстановки производится следующим образом:
- если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку [math]\displaystyle{ \cos x = t }[/math];
- если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку [math]\displaystyle{ \sin x = t }[/math];
- если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку [math]\displaystyle{ \operatorname{tg} x = t }[/math].
Пример: [math]\displaystyle{ I = \int \sin^2 x \cdot \cos x \cdot dx }[/math].
Решение: Пусть [math]\displaystyle{ \sin x=t }[/math]; тогда [math]\displaystyle{ \cos x \cdot dx = dt }[/math] и [math]\displaystyle{ I =\int t^2 dt =\frac{t^3}{3} + C =\frac{\sin^3 x}{3} + C }[/math], где C — любая константа.
Интегрирование дифференциального бинома
Для вычисления интеграла от дифференциального бинома
- [math]\displaystyle{ I=\int x^m (a+bx^n)^p\;dx, }[/math]
где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:
- [math]\displaystyle{ p }[/math] — целое число. Используется подстановка [math]\displaystyle{ x=t^k }[/math], [math]\displaystyle{ k }[/math] — общий знаменатель дробей [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math];
- [math]\displaystyle{ \frac{m+1}{n} }[/math] — целое число. Используется подстановка [math]\displaystyle{ a + b x^n = t^s }[/math], [math]\displaystyle{ s }[/math] — знаменатель дроби [math]\displaystyle{ p }[/math].
- [math]\displaystyle{ p+\frac{m+1}{n} }[/math] — целое число. Используется подстановка [math]\displaystyle{ a x^{-n} + b = t^s }[/math], [math]\displaystyle{ s }[/math] — знаменатель дроби [math]\displaystyle{ p }[/math].
В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях[4].
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
- [math]\displaystyle{ \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du. }[/math]
Или:
- [math]\displaystyle{ \int u \cdot v' \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u' \cdot dx. }[/math]
В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл
- [math]\displaystyle{ \int P_{n+1}(x) e^x\,dx, }[/math]
где [math]\displaystyle{ P_{n+1}(x) }[/math] — многочлен [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]-й степени.
Пример: Найти интеграл [math]\displaystyle{ \int x \cdot \ln x\,dx }[/math].
Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что [math]\displaystyle{ u=\ln x \Rightarrow \displaystyle{du = \frac{dx}{x}} }[/math] и [math]\displaystyle{ dv = x dx\Rightarrow \int dv = \int xdx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2} }[/math], тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем [math]\displaystyle{ \int x \cdot \ln x dx = \frac{x^2\ln x}{2}-\frac{1}{2}\int x^2 \cdot \frac{dx}{x} = \frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+C }[/math]
Интегрирование рациональных дробей
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.
Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Всякую правильную рациональную дробь [math]\displaystyle{ \tfrac{P(x)}{Q(x)} }[/math], знаменатель которой разложен на множители
- [math]\displaystyle{ Q(x)= \prod^{n}_{i=1} (x-x_i)^{k_i} \cdot \prod^{m}_{j=1} (x^2+p_jx+q_j)^{s_j} }[/math]
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
- [math]\displaystyle{ \frac{P(x)}{Q(x)}= \sum^{n}_{i=1} {\sum^{k_n}_{j=1} {\frac {A_{ij}} {(x-x_i)^j}} }+ \sum^{m}_{l=1} {\sum^{s_m}_{t=1} {\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x} {(x^2+p_lx+q_l)^t}} } }[/math]
где [math]\displaystyle{ A_{ij},\alpha _{lt}, \beta _{lt} }[/math] — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Пример: [math]\displaystyle{ \int \frac{2x+3}{x^2-9}\,dx. }[/math]
Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
[math]\displaystyle{ \frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{\alpha}{(x-3)} + \frac{\beta}{(x+3)} }[/math]
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
[math]\displaystyle{ \alpha(x+3)+\beta(x-3)=2x+3 }[/math]
[math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)x+3\alpha-3\beta=2x+3 }[/math]
Следовательно [math]\displaystyle{ \begin{cases} \alpha+\beta=2\\ 3\alpha-3\beta=3\\ \end{cases}, \begin{cases} \alpha=\frac{3}{2}\\ \beta=\frac{1}{2}\\ \end{cases} }[/math]
Тогда
[math]\displaystyle{ \frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{\frac{3}{2}}{x-3}+\frac{\frac{1}{2}}{x+3} }[/math]
Теперь легко вычислить исходный интеграл [math]\displaystyle{ \int \frac{2x+3}{x^2-9}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-3} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+3} = \frac{3}{2}\ln |x-3| + \frac{1}{2}\ln |x+3| + C = \frac{1}{2}\ln |(x-3)^3(x+3)| + C }[/math]
Интегрирование элементарных функций
Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.
См. также
- Символьное интегрирование
- Формулы Фруллани
- Универсальная тригонометрическая подстановка
- Подстановки Эйлера
Примечания
- ↑ Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 213.
- ↑ 2,0 2,1 См. обоснование в книге: И. М. Уваренков, М. З. Маллер. Курс математического анализа. — М.: Просвещение, 1966. — Т. 1. — С. 459-460.
- ↑ См. обоснование в книге: В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 219. — (Курс высшей математики и математической физики).
- ↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathématiques pures et appliquées : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111.
Ссылки
- Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
- Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
- Онлайн Калькулятор Интегралов