Теорема Тейлора

Экспоненциальная функция y = e^x (сплошная красная линия) и соответствующий многочлен Тейлора четвёртого порядка (штрих-пунктирная зелёная линия) вблизи начала координат

Эта статья о многочленах Тейлора дифференцируемых функций. О рядах Тейлора аналитических функций см. соответствующую статью.

Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора.

Эта теорема названа в честь математика Брука Тейлора, который сформулировал одну из её версий в 1712 году. Явное выражение для ошибки приближения было дано намного позже Жозефом Лагранжем. Ранее, в 1671 году, Джеймсом Грегори уже было упомянуто следствие из теоремы.

Теорема Тейлора позволяет овладеть приёмами вычислений начального уровня, и она является одним из центральных элементарных инструментов в математическом анализе. При изучении математики она является начальной точкой для изучения асимптотического анализа. Теорема также используется в математической физике. Она также обобщается на функции нескольких переменных и векторные функции [math]\displaystyle{ f\, :\, \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m }[/math] для любых размерностей [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math]. Это обобщение теоремы Тейлора является базовым для определения так называемых струй, которые появляются в дифференциальной геометрии и в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Предпосылки для введения теоремы

График f(x) = e^x (голубого цвета) с его линейным приближением P₁(x) = 1 + x (красным цветом) в точке a = 0.

Если вещественно-значимая функция f(х) является дифференцируемой в точке a, то она имеет линейное приближение в точке a. Это означает, что существует функция h₁ такая, что

[math]\displaystyle{ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + h_1(x)(x-a), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0. }[/math]

Здесь

[math]\displaystyle{ P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a) \ }[/math]

это линейное приближение функции f в точке a. График функции y = P₁(x) является касательной к графику функции f в точке x = a. Ошибка приближения такова

[math]\displaystyle{ R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(x-a). \ }[/math]

Заметим, что ошибка приближается к нулю немного быстрее, чем разница x − a приближается к нулю по мере того, как x стремится к a.

График f(x)=e^x (голубого цвета) с квадратичным приближением P₂(x) = 1 + x + x²/2 (красного цвета) в точке a = 0. Заметны значительные улучшения приближения.

Если мы ищем лучшее приближение f, мы можем использовать многочлен второй степени вместо линейной функции. Вместо нахождения производной от f в точке a, мы можем найти две производные, получив таким образом многочлен, который так же как и f возрастает (или убывает), и так же как и f имеет выпуклость (или вогнутость) в точке a. Многочлен второй степени (квадратный многочлен) в этом случае будет выглядеть следующим образом:

[math]\displaystyle{ P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2. }[/math]

Теорема Тейлора позволяет убедиться, что квадратичное приближение является, в достаточно малой окрестности точки a, лучшим приближением, чем линейное. В частности,

[math]\displaystyle{ f(x) = P_2(x) + h_2(x)(x-a)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0. }[/math]

Здесь ошибка приближения такова

[math]\displaystyle{ R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(x-a)^2 \ }[/math]

которая, при ограниченном характере h₂, приближается к нулю быстрее, чем приближается к нулю (x − a)² по мере того, как x стремится к a.

Приближение функции f(x) = 1/(1 + x²) с помощью многочленов P_k порядка k = 1, …, 16 относительно точки x = 0 (красный) и точки x = 1 (салатовый цвет). Приближение вообще не улучшается за пределами (-1,1) и (1-√2,1+√2), соответственно.

Таким образом, мы будем продолжать получать более хорошие приближения к f, если будем использовать многочлены всё более высокой степени. В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка k будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (x − a)^k по мере того как x стремится к a.

Это следствие имеет асимптотическую природу: оно лишь говорит нам, что ошибка R_k приближения с помощью многочленов Тейлора k-го порядка P_k приближается к нулю быстрее, чем ненулевой многочлен k-го порядка по мере того как x → a. Оно не говорит нам, насколько велика ошибка в любой окрестности центра приближения, но для этого существует формула для остатка (приведена ниже).

Наиболее полные версии теоремы Тейлора как правило приводят к равномерным оценкам ошибки приближения в малой окрестности центра приближения, но эти оценки не являются адекватными для окрестностей, которые слишком велики, даже если функция f является аналитической. В этой ситуации следует выбирать несколько многочленов Тейлора с разными центрами приближения, чтобы иметь надёжное Тейлорово приближение к исходной функции (см. Анимированный рисунок выше). Возможна также ситуация, когда возрастание порядка многочлена не увеличивает качество приближения вообще, даже если функция f дифференцируется бесконечное число раз. Такой пример приведён ниже.

Теорема Тейлора для функций от одной вещественной переменной

Формулировка теоремы

Точная формулировка большинства базовых версий теоремы такова.

Теорема Тейлора Пусть k ≥ 1 является целым, и пусть функция f : R → R является k раз дифференцируемой в точке a ∈ R. Тогда существует функция h_k : R → R такая, что

[math]\displaystyle{ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k, \qquad \lim_{x\to a}h_k(x)=0. }[/math]

Многочлен, возникающий в теореме Тейлора, является многочленом Тейлора k-го порядка

[math]\displaystyle{ P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k }[/math]

функции f в точке a.

Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена

[math]\displaystyle{ \ R_k(x) = f(x) - P_k(x), }[/math]

который является ошибкой при нахождении приближения функции f с помощью многочленов Тейлора. Используя «O» большое и «o» малое теорему Тейлора можно сформулировать так

[math]\displaystyle{ R_k(x) = o(|x-a|^k), \qquad x\to a. }[/math]

Формулы для остатка

Существует несколько точных формул для остаточного члена R_k многочлена Тейлора, наиболее общая из которых следующая.

Остаток в форме среднего значения. Пусть функция f : R → R является k+1 раз дифференцируемой на интервале [math]\displaystyle{ (a,x) }[/math] и непрерывной на отрезке [math]\displaystyle{ [a,x] }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \exist\, \xi_L \in (a,x): R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_L)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1}. }[/math]

Это остаточный член в форме Лагранжа. При тех же условиях

[math]\displaystyle{ \exist\, \xi_C \in (a,x): R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_C)}{k!}(x-\xi_C)^k(x-a). }[/math]

Это остаточный член в форме Коши.

Эти уточнения теоремы Тейлора обычно выводятся с помощью формулы конечных приращений.

Можно так же найти и другие выражения для остатка. Например, если G(t) является непрерывной на закрытом интервале и дифференцируемой с нестремящейся к нулю производной на открытом интервале между a и x, то

[math]\displaystyle{ R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G'(\xi)} }[/math]

для некоторого числа ξ между a и x. Эта версия охватывает формы Лагранжа и Коши как частные случаи, и выводится с помощью теоремы Коши о среднем значении (расширенной версии теоремы Лагранжа о среднем значении).

Запись формулы для остатка в интегральной форме является более общей, чем предыдущие формулы, и требует понимания интегральной теории Лебега. Однако она сохраняется также для интеграла Римана при условии, что производная порядка (k+1) от f является непрерывной на закрытом интервале [a,x].

Интегральная форма записи формулы для остатка Пусть f^(k) является абсолютно непрерывной на закрытом интервале между a и x. Тогда

[math]\displaystyle{ R_k(x) = \int_a^x \frac{f^{(k+1)} (t)}{k!} (x - t)^k \, dt. }[/math]

Вследствие абсолютной непрерывности f^(k) на закрытом интервале между a и x, её производная f^(k+1) существует как L¹-функция, и это следствие может быть получено с помощью формальных вычислений с использованием теоремы Ньютона — Лейбница и интегрирования по частям.

Оценки остатка

На практике часто бывает полезно численно оценить величину остаточного члена приближения Тейлора.

Будем считать, что f является (k+1)-раз непрерывно дифференцируемой на интервале I, содержащем a. Будем считать, что существуют действительные постоянные числа q и Q такие, что

[math]\displaystyle{ q\le f^{(k+1)}(x)\le Q }[/math]

на всём протяжении I. Тогда остаточный член удовлетворяет неравенству

[math]\displaystyle{ q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}, }[/math]

если x > a, и схожая оценка, если x < a. Это простое следствие из формулы остатка в Лагранжевой форме. В частности, если

[math]\displaystyle{ |f^{(k+1)}(x)|\leq M }[/math]

на интервале I = (a−r,a+r) с некоторым r>0, то

[math]\displaystyle{ |R_k(x)| \le M\frac{|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!} }[/math]

для всех x∈(a−r,a+r). Второе неравенство называется равномерной оценкой, потому что она сохраняет равномерность для всех x на интервале (a−r,a+r).

Пример

Приближение e^x (голубой) с помощью многочленов Тейлора P_k порядка k=1,…,7 с центром в точке x=0 (красный).

Допустим, мы хотим найти приближение функции f(x) = e^x на интервале [−1,1] и убедиться, что ошибка не превышает значения 10⁻⁵. В этом примере считаем, что нам известны следующие свойства экспоненциальной функции:

[math]\displaystyle{ (*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x\gt 0, \qquad x\in\mathbb{R}. }[/math]

Из этих свойств следует, что f^(k)(x) = e^x для всех k, и в частности, f^(k)(0) = 1. Отсюда следует, что многочлен Тейлора k-го порядка функции f в точке 0 и его остаточного члена в форме Лагранжа даётся формулой

[math]\displaystyle{ P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{(k+1)!}x^{k+1}, }[/math]

где ξ — это некоторое число между 0 и x. Поскольку e^x возрастает согласно (*), мы можем использовать e^x ≤ 1 для x ∈ [−1, 0], чтобы оценить остаток на подынтервале [−1, 0]. Для нахождения верхней границы значения остатка на интервале [0,1], можем использовать свойство e^ξ<<e^x для 0<ξ<x, чтобы оценить

[math]\displaystyle{ e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 \lt 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 \lt x\leq 1 }[/math]

используя многочлен Тейлора второго порядка. Выражая из этого неравенства e^x, приходим к выводу, что

[math]\displaystyle{ e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \leq x\leq 1 }[/math]

приняв, что числитель принимает максимальное из всех своих возможных значений, а знаменатель принимает минимальное из всех своих возможных значений. Используя эти оценки значений e^x, мы видим, что

[math]\displaystyle{ |R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1, }[/math]

и требуемая точность определённо достигается в том случае, когда

[math]\displaystyle{ \frac{4}{(k+1)!} \lt 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 \lt (k+1)! \quad \Leftrightarrow \quad k \geq 7. }[/math]

(где факториал 7!=5 040 и 8!=40 320.) В конечном счёте, теорема Тейлора приводит к приближению

[math]\displaystyle{ e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| \lt 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1. }[/math]

Отметим, что это приближение позволяет вычислить значение e≈2.71828 с точностью до пятого знака после запятой.

Аналитичность

Разложение Тейлора для вещественных аналитических функций

Пусть [math]\displaystyle{ I\subset \mathbb{R} }[/math] является открытым интервалом. По определению, функция [math]\displaystyle{ f\, :\, I\rightarrow \mathbb{R} }[/math] является вещественной аналитической, если она на данном участке определена сходимостью степенного ряда. Это означает, что для каждого [math]\displaystyle{ a\in I }[/math] существует некоторое r > 0 и последовательность коэффициентов c_k ∈ R такая, что (a − r, a + r) ⊂ I и

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(x-a)^k = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots, \qquad |x-a|\lt r. }[/math]

В общем, радиус сходимости степенного ряда может быть вычислен по формуле Коши–Адамара

[math]\displaystyle{ \frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}. }[/math]

Этот результат основан на сравнении с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, и тот же самый метод показывает, что если степенной ряд, разложенный по a, сходится для некоторого b∈R, он должен сходиться равномерно на закрытом интервале [a − r_b, a + r_b], где r_b = |b − a|. Здесь мы только рассмотрели сходимость степенного ряда, и не исключено, что область (a − R,a + R) расширяется за пределы области определения I функции f.

Многочлен Тейлора от вещественной аналитической функции f в точке a

[math]\displaystyle{ P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(x-a)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!} }[/math]

является простым усечением определённого на некотором интервале соответствующего степенного ряда этой функции, и остаточный член на данном интервале даётся аналитической функцией

[math]\displaystyle{ R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(x-a)^j = (x-a)^k h_k(x), \qquad |x-a|\lt r. }[/math]

Здесь функция

[math]\displaystyle{ h_k:(a-r,a+r)\to \R; \qquad h_k(x) = (x-a)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(x-a)^j }[/math]

также является аналитической, поскольку её степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. При условии, что [a − r, a + r] ⊂ I и r < R, все эти ряды сходятся равномерно на интервале (a − r, a + r). Конечно, в случае аналитических функций можно оценить остаточный член R_k(x) путём «обрезания» последовательности производных f′(a) в центре приближения, но при использовании комплексного анализа появляются и другие возможности, которые описаны ниже.

Теорема Тейлора и сходимость ряда Тейлора

Существует разногласие между многочленами Тейлора дифференцируемых функций и рядами Тейлора аналитических функций. Можно рассматривать (справедливо) ряд Тейлора

[math]\displaystyle{ f(x) \approx \sum_{k=0}^\infty c_k(x-a)^k = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \ldots }[/math]

бесконечное число раз дифференцируемой функции f:R→R как её «многочлен Тейлора бесконечно большого порядка» в точке a. Теперь оценка остатка многочлена Тейлора подразумевает, что для любого порядка k и для любого r>0 существует постоянная M_k,r>0 такая, что

[math]\displaystyle{ (*) \quad |R_k(x)|\leq M_{k,r}\frac{|x-a|^{k+1}}{(k+1)!} }[/math]

для каждого x∈(a-r, a+r). Иногда эти постоянные могут быть выбраны таким образом, что M_k,r → 0, когда k → ∞ и r остаётся неизменной. Тогда ряд Тейлора функции f сходится равномерно к некоторой аналитической функции

[math]\displaystyle{ T_f:(a-r,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. }[/math]

Тут важно упомянуть тонкий момент. Возможна ситуация, когда бесконечное число раз дифференцируемая функция f имеет ряд Тейлора в точке a, который сходится в некоторой открытой окрестности точки a, но предельная функция T_f отличается от f. Важным примером этого феномена является такой

[math]\displaystyle{ f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x\gt 0, \\ 0 &, x\leq 0.\end{cases} }[/math]

Используя цепное правило можно показать индуктивно, что для любого порядка k,

[math]\displaystyle{ f^{(k)}(x) = \begin{cases} \frac{p_k(x)}{x^{3k}}e^{-\frac{1}{x^2}} &, x\gt 0 \\ 0 &, x\leq 0\end{cases} }[/math]

для некоторого многочлена p_k. Функция [math]\displaystyle{ e^{-\frac{1}{x^2}} }[/math] стремится к нулю быстрее, чем любой полином, по мере того как x → 0, тогда f является бесконечное число раз дифференцируемой и f^(k)(0) = 0 для каждого положительного целого k. Теперь оценки для остатка многочлена Тейлора функции f показывают, что ряд Тейлора сходится равномерно к нулевой функции на всей действительной числовой оси. Не будет ошибки в следующих утверждениях:

• Ряд Тейлора функции f сходится равномерно к нулевой функции T_f(x)=0.
• Нулевая функция является аналитической, и каждый коэффициент её ряда Тейлора равен нулю.
• Функция f является бесконечное число раз дифференцируемой, но не аналитической.
• Для любого k∈N и r>0 существует M_{k, r}>0 такое, что остаточный член многочлена Тейлора k-го порядка функции f удовлетворяет условию (*).

Теорема Тейлора в комплексном анализе

Теорема Тейлора обобщает функции [math]\displaystyle{ f:\mathbb C\to\mathbb C }[/math], которые являются комплексно дифференцируемыми на открытом подмножестве U ⊂ C комплексной плоскости. Однако её полезность снижена другими теоремами комплексного анализа, а именно: более полные версии подобных результатов могут быть выведены для комплексно дифференцируемых функций f : U → C с использованием интегральной формулы Коши как показано ниже.

Пусть r > 0 такое, что замкнутый круг B(z, r) ∪ S(z, r) содержится в U. Тогда интегральная формула Коши с положительной параметризацией γ(t)=re^it окружности S(z, r) с t ∈ [0,2π] даёт

[math]\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{w-z}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{k+1}}dw. }[/math]

Здесь все подынтегральные выражения являются непрерывными на окружности S(z, r), что обосновывает дифференцирование под знаком интеграла. В частности, если f является один раз комплексно дифференцируемой на открытом множестве U, то она фактически бесконечное число раз комплексно дифференцируема на U. Имеем оценку Коши

[math]\displaystyle{ |f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|w-z|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \qquad M_r = \max_{|w-c|=r}|f(w)| }[/math]

для любого z ∈ U и r > 0 такой, что B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Эти оценки подразумевают, что комплексный ряд Тейлора

[math]\displaystyle{ f(z) \approx \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c)^k }[/math]

функции f сходится равномерно в любом круге B(c, r) ⊂ U с S(c, r) ⊂ U в некоторой функции T_f. Кроме того, используя формулу интегрирования по контуру для производных f^(k)(c),

[math]\displaystyle{ \begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty \frac{(z-c)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(w-c)^{k+1}}dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-c} \sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{z-c}{w-c}\Big)^k dw \\ = \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-c}\Big( \frac{1}{1-\frac{z-c}{w-c}} \Big) dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{w-z} dw = f(z), \end{align} }[/math]

таким образом, любая комплексно дифференцируемая функция f на открытом множестве U ⊂ C является комплексно аналитической. Всё то, что было написано выше для вещественных аналитических функций справедливо также и для комплексных аналитических функций, где открытый интервал I заменён на открытое подмножество U ∈ C и a-центрированные интервалы (a − r, a + r) заменена на c-центрированные круги B(c, r). В частности, разложение Тейлора сохраняется в виде

[math]\displaystyle{ f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c)^k, }[/math]

где остаточный член R_k является комплексно аналитическим. При рассмотрении рядов Тейлора методы комплексного анализа позволяют получить несколько более мощные результаты. Например, используя интегральную формулу для любого положительно ориентированную жорданову кривую γ которая параметризирует границу ∂W ⊂ U области W ⊂ U, можно получить выражение для производных f^(j)(c) как показано выше, и слегка изменив расчёты для T_f(z) = f(z), прийти к точной формуле

[math]\displaystyle{ R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(z-c)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-c)^{j+1}}dw = \frac{(z-c)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)} , \qquad z\in W. }[/math]

Важная особенность здесь состоит в том, что качество приближения с помощью многочлена Тейлора в области W ⊂ U является мажорируемым значениями функции f на границе ∂W ⊂ U. Так же, применяя оценки Коши к выражению остатка Ряда, получаем равномерные оценки

[math]\displaystyle{ |R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |z-c|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|z-c|^{k+1}}{1-\frac{|z-c|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} , \qquad \frac{|z-c|}{r}\leq \beta \lt 1. }[/math]

Пример

График комплексной функции f(z) = 1/(1 + z²). Модуль показан высотой подъёма и аргумент показан цветом: циан=0, синий=π/3, фиолетовый=2π/3, красный=π, жёлтый=4π/3, зелёный=5π/3.

Функция f:R→R, определяемая уравнением

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1+x^2} }[/math]

является вещественной аналитической, то есть, в данной области определяется её рядом Тейлора. Один из рисунков, приведённых выше, показывает, что некоторые очень просто задаваемые функции не могут быть выражены с помощью приближения Тейлора в окрестности центра приближения, если эта окрестность слишком велика. Это свойство легко понять в рамках комплексного анализа. Более конкретно, функция f расширяется до мероморфной функции

[math]\displaystyle{ f:\mathbb C\cup\{\infty\} \to \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2} }[/math]

на компактифицированной комплексной плоскости. Она имеет простые оси в точках z=i и z=−i, и она всюду аналитическая. Её ряд Тейлора, имеющий центром z₀, сходится на любом круге B(z₀,r) с r<|z-z₀|, где тот же ряд Тейлора сходится при z∈C. Вследствие этого ряд Тейлора функции f, имеющий центром точку 0, сходится на B(0,1) и он не сходится для любого z∈C с |z|>1 вследствие имеющихся осей в точках i и −i. По тем же причинам ряд Тейлора функции f, имеющий центром точку 1, сходится на B(1,√2) и не сходится для любого z∈C с |z-1|>√2.

Обобщения теоремы Тейлора

Высшие порядки дифференцируемости

Функция f:Rⁿ → R является дифференцируемой в точке a ∈ Rⁿ тогда и только тогда, когда существует линейная форма L : Rⁿ → R и функция h : Rⁿ → R такая, что

[math]\displaystyle{ f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}), \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0. }[/math]

Если этот случай имеет место, то L = df(a) является дифференциалом функции f в точке a. Кроме того, когда частные производные функции f существуют в точке a, то дифференциал f в точке a даётся формулой

[math]\displaystyle{ df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})v_n. }[/math]

Вводя мультииндекс, запишем

[math]\displaystyle{ |\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} }[/math]

для α ∈ Nⁿ и x ∈ Rⁿ. Если все частные производные k-го порядка функции f : Rⁿ → R являются непрерывными в a ∈ Rⁿ, то, по теореме Клеро, можно изменить порядок смешанных производных в точке a, тогда запись

[math]\displaystyle{ D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n}}, \qquad |\alpha|\leq k }[/math]

для частных производных высших порядков является правомерной в этой ситуации. То же самое является верным, если все частные производные (k − 1)-го порядка функции f существуют в некоторой окрестности точки a и являются дифференцируемыми в точке a. Тогда можно сказать, что функция f является k раз дифференцируемой в точке a .

Теорема Тейлора для функций многих переменных

Теорема Тейлора для функций многих переменных. Пусть f : Rⁿ → R является k раз дифференцируемой функцией в точке a∈Rⁿ. Тогда существует h_α : Rⁿ→R такая, что

[math]\displaystyle{ f(\boldsymbol{x}) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\alpha + \sum_{|\alpha|=k} h_\alpha(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\alpha, \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to \boldsymbol{a}}h_\alpha(\boldsymbol{x})=0. }[/math]

Если функция f : Rⁿ → R является k+1 раз непрерывно дифференцируемой в замкнутом шаре B, то можно получить точную формулу для остатка разложения Тейлора до частных производных (k+1)-го порядка от f в этой окрестности. А именно

[math]\displaystyle{ f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big(\boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt. }[/math]

В этом случае, вследствие непрерывности частных производных (k+1)-го порядка на компактном множестве B, непосредственно получаем

[math]\displaystyle{ \big|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leq \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{y})|, \qquad \boldsymbol{x}\in B. }[/math]

Доказательства

Доказательство теоремы Тейлора для одной вещественной переменной

Пусть

[math]\displaystyle{ h_k(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - P(x)}{(x-a)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{cases} }[/math]

где, как указано в формулировке теоремы Тейлора,

[math]\displaystyle{ P(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. }[/math]

Достаточно показать, что

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} h_k(x) =0. }[/math]

Доказательство основано на повторяющемся применении правила Лопиталя. Заметим, что каждое j = 0,1,…,k−1, [math]\displaystyle{ f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a) }[/math]. Отсюда каждая следующая производная числителя функции [math]\displaystyle{ h_k(x) }[/math] стремится к нулю в точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math], и то же самое справедливо для знаменателя. Тогда

[math]\displaystyle{ \begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(x-a)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d}{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(x-a)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}(x-a)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1)}(x)}{x-a}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0 \end{align} }[/math]

где переход от предпоследнего выражения к последнему следует из определения производной в точке x = a.

Источники

• Apostol, Tom (1967), Calculus, Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1 .
• Bartle & Sherbert (2000), Introduction to Real Analysis (3rd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-32148-6 .
• Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
• Klein, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
• Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94108-8 .
• Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis, Wadsworth, Inc., ISBN 978-0534980122 .
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-054234-1 .

Ссылки

• Taylor Series Approximation to Cosine at cut-the-knot
• Trigonometric Taylor Expansion interactive demonstrative applet
• Taylor Series Revisited at Holistic Numerical Methods Institute