Подстановки Эйлера

Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы вида [math]\displaystyle{ \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx }[/math], где [math]\displaystyle{ R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) }[/math] — рациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году.

Подстановки

Первая подстановка

Используется тогда, когда [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] . Производится замена:
[math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm t \pm \sqrt{a}x }[/math]

Вторая подстановка

Используется тогда, когда [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] . Производится замена:
[math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm xt \pm \sqrt{c} }[/math]

Третья подстановка

Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:
[math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm t(x-\lambda) }[/math] , где [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — один из корней.

Интересные факты

По воспоминаниям ученика Ландау А. И. Ахиезера, тот крайне негативно относился к использованию данных подстановок:

<…> он [Ландау] предложил мне вычислить <…> интеграл от рациональной дроби. <…> я вычислил, не используя стандартных подстановок Эйлера, и это меня спасло, ибо, как я понял впоследствии, Ландау не терпел их и считал, что каждый раз нужно использовать какой-нибудь искусственный прием, что собственно, я и сделал.

— Воспоминания о Л. Д. Ландау

Ссылки

• И. М. Виноградов. Эйлера подстановка // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Пример использования подстановок Эйлера на PlanetMath(англ.)