Натуральный логарифм
Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где [math]\displaystyle{ e }[/math] — трансцендентная константа, равная приблизительно [math]\displaystyle{ 2.718281828459 }[/math]. Он обозначается как [math]\displaystyle{ \ln x }[/math], [math]\displaystyle{ \log_ex }[/math] или иногда просто [math]\displaystyle{ \log x }[/math], если основание [math]\displaystyle{ e }[/math] подразумевается[1]. Обычно число [math]\displaystyle{ x }[/math] под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.
Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для экспоненты [math]\displaystyle{ y=e^x }[/math], поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок справа). Как и экспонента, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.
Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада радиоактивного вещества. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения различных задач, (например, нахождение сложных процентов).
Определение
Натуральный логарифм числа [math]\displaystyle{ a }[/math] — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить [math]\displaystyle{ a }[/math]. Другими словами, натуральный логарифм [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] есть решение [math]\displaystyle{ x }[/math] уравнения [math]\displaystyle{ e^x = a. }[/math]
Примеры:
- [math]\displaystyle{ \ln e=1 }[/math], потому что [math]\displaystyle{ e^1=e }[/math];
- [math]\displaystyle{ \ln 1=0 }[/math], потому что [math]\displaystyle{ e^0=1 }[/math].
Вещественный натуральный логарифм
Натуральный логарифм [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] для вещественного числа [math]\displaystyle{ a }[/math] определён и однозначен для любого положительного числа [math]\displaystyle{ a. }[/math]
Натуральный логарифм может быть также определён геометрически для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{x} }[/math] на промежутке [math]\displaystyle{ [1;a] }[/math]. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный».
Свойства
Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество[2]:
- [math]\displaystyle{ e^{\ln a} = a }[/math]
Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны[3]:
Формула | Пример | |
---|---|---|
Произведение | [math]\displaystyle{ \ln(x y) = \ln x + \ln y }[/math] | [math]\displaystyle{ \ln (4\cdot 3) = \ln 4+ \ln 3 }[/math] |
Частное | [math]\displaystyle{ \ln \left(\frac x y \right) = \ln x - \ln y }[/math] | [math]\displaystyle{ \ln \left(\frac{1}{e^2}\right) = \ln (1) - \ln (e^2) = 0 - 2 = -2 }[/math] |
Степень | [math]\displaystyle{ \ln(x^p) = p \ln x }[/math] | [math]\displaystyle{ \ln (64) = \ln (2^6) = 6 \ln 2 }[/math] |
Корень | [math]\displaystyle{ \ln \sqrt[p]{x} = \frac {\ln x} p }[/math] | [math]\displaystyle{ \ln \sqrt{10} = \frac{1}{2}\ln 10 }[/math] |
Другие свойства:
- Из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений.
- С возрастанием аргумента возрастает и логарифм: если [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt y, }[/math] то [math]\displaystyle{ \ln x \lt \ln y. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{h}{1+h} \leqslant \ln(1+h) \leqslant h, }[/math] если [math]\displaystyle{ h \gt -1. }[/math]
Связь с логарифмами по другому основанию
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от [math]\displaystyle{ 1 }[/math], а не только для [math]\displaystyle{ e }[/math], но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем.
Логарифм [math]\displaystyle{ \log_a b }[/math] по основанию [math]\displaystyle{ a }[/math] можно преобразовать[4] в натуральный логарифм и обратно:
- [math]\displaystyle{ \ln b = \frac{\log_a b }{\log_a e} = \log_a b \cdot \ln a }[/math]
- [math]\displaystyle{ \log_a b = \frac{\ln b }{\ln a} }[/math]
Связь десятичного ([math]\displaystyle{ \lg x }[/math]) и натурального логарифмов[5]:
- [math]\displaystyle{ \ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x }[/math]
Связь двоичного ([math]\displaystyle{ \operatorname{lb} x }[/math]) и натурального логарифмов:
- [math]\displaystyle{ \ln x \approx 0,693147 \operatorname{lb} x; \quad \operatorname{lb} x \approx 1{,}442695 \ln x }[/math]
Логарифмическая функция
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Log.png&width=250)
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию [math]\displaystyle{ y=\ln x }[/math]. Она определена при [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]. Область значений: [math]\displaystyle{ E(y)=(-\infty; + \infty) }[/math]. Эта кривая часто называется логарифмикой[6]. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси [math]\displaystyle{ y }[/math]; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.
Функция является строго возрастающей, она непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.
Ось ординат ([math]\displaystyle{ x=0 }[/math]) является вертикальной асимптотой, поскольку:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0+} \ln x = - \infty }[/math]
Производная натуральной логарифмической функции равна:
- [math]\displaystyle{ \frac {d} {dx} \ln x = \frac {1} {x} }[/math]
Простота этой формулы — одна из причин широкого использования именно натурального логарифма в анализе и при решении дифференциальных уравнений.
Проинтегрировав формулу для производной в интервале от [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] до [math]\displaystyle{ x=b }[/math], мы получаем:
- [math]\displaystyle{ \ln b = \int\limits_1^b {\frac {dx}{x}} }[/math]
Другими словами, натуральный логарифм [math]\displaystyle{ \ln{b} }[/math] равен площади под гиперболой [math]\displaystyle{ y=\frac {1}{x} }[/math] для указанного интервала [math]\displaystyle{ [1,b] }[/math].
С точки зрения общей алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения[7]:
- [math]\displaystyle{ f(xy)=f(x)+f(y) }[/math]
Аналитические свойства функции
Из формулы для производной натурального логарифма следует, что первообразная для гиперболы [math]\displaystyle{ y=1/x }[/math] имеет вид:
- [math]\displaystyle{ \int { dx \over x} = \ln|x| + C, }[/math]
где [math]\displaystyle{ C }[/math] — произвольная константа интегрирования. Поскольку функция [math]\displaystyle{ y=1/x }[/math] состоит из двух ветвей (одна для положительных, другая для отрицательных [math]\displaystyle{ x }[/math]), семейство первообразных для [math]\displaystyle{ y=1/x }[/math] тоже состоит из двух подсемейств, причём константы интегрирования у них независимы одна от другой.
Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:
- [math]\displaystyle{ \int{\ln x\,\mathrm dx} = x\ln x-x+C }[/math]
В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)} }[/math]
Методы вычисления логарифма
Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы:
[math]\displaystyle{ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots }[/math] | (Ряд 1) |
Этот ряд, называемый «рядом Меркатора», сходится при [math]\displaystyle{ -1 \lt x \leqslant 1 }[/math]. В частности:
[math]\displaystyle{ \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots }[/math] |
Формула ряда 1 непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:
[math]\displaystyle{ \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right) }[/math] | (Ряд 2) |
Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа [math]\displaystyle{ z =\frac{1 + x}{1 - x} }[/math], ибо тогда [math]\displaystyle{ x = \frac{z - 1}{z + 1} }[/math] по абсолютной величине меньше единицы. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости.
Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.
Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:[8][9]:
- [math]\displaystyle{ \ln x \approx \frac{\pi}{2 M(1,4/s)} - m \ln 2 }[/math]
где [math]\displaystyle{ M }[/math] обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и
- [math]\displaystyle{ s = x \,2^m \gt 2^{p/2}, }[/math]
m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.
Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.
Полезные пределы
Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами[10]:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)} {x} = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0+} x^b \ln x = 0 \quad (b \gt 0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^b} = 0 \quad (b \gt 0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h }[/math]
Трансцендентность
Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса (1885) вытекает следующее следствие: если аргумент [math]\displaystyle{ x }[/math] есть алгебраическое число, отличное от единицы, то значение [math]\displaystyle{ \ln x }[/math] есть не только иррациональное, но и трансцендентное число[11].
Непрерывные дроби
Хотя для представления логарифма отсутствуют классические непрерывные дроби, но можно использовать несколько «обобщённых непрерывных дробей», в том числе:
- [math]\displaystyle{ \ln(1+x)=\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\dots= \cfrac{x}{1-0\cdot x+\cfrac{1^2x}{2-1\cdot x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln \left( 1+\frac{2x}{y} \right) = \cfrac{2x} {y+\cfrac{x} {1+\cfrac{x} {3y+\cfrac{2x} {1+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {1+\ddots}}}}}} = \cfrac{2x} {y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(y+x)-\ddots}}}} }[/math]
История
Впервые натуральные логарифмы в современном понимании появились в 1619 году, когда лондонский учитель математики Джон Спейдель переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов[12]. В 1649 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан показал, что площадь под гиперболой [math]\displaystyle{ y=\frac {1}{x} }[/math] меняется по логарифмическому закону, и предложил называть этот вид логарифмов «гиперболическим»[13].
Термин «натуральный логарифм» ввели в употребление Пьетро Менголи (1659 год) и Николас Меркатор в фундаментальном труде «Logarithmotechnia» (1668)[14][15]. Там же Меркатор описал разложение натурального логарифма в «ряд Меркатора».
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма[16]. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить [math]\displaystyle{ \log(-x) = \log(x) }[/math], в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число[16]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной[17].
Комплексные логарифмы
Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.
Определение. Натуральный логарифм [math]\displaystyle{ \mathrm{Ln}\,z }[/math] комплексного числа [math]\displaystyle{ z }[/math] представляет собой[6] решение [math]\displaystyle{ w }[/math] уравнения [math]\displaystyle{ e^w=z. }[/math]
Ненулевое число [math]\displaystyle{ z }[/math] можно представить в показательной форме:
- [math]\displaystyle{ z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;, }[/math] где [math]\displaystyle{ k }[/math] — произвольное целое число
Тогда [math]\displaystyle{ \mathrm{Ln}\,z }[/math] находится по формуле[18]:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right) }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ \ln\,r= \ln\,|z| }[/math] — вещественный логарифм. Отсюда вытекает:
Комплексный логарифм [math]\displaystyle{ \mathrm{Ln}\, z }[/math] существует для любого [math]\displaystyle{ z \ne 0 }[/math], и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное [math]\displaystyle{ 2\pi. }[/math] |
Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале [math]\displaystyle{ (-\pi, \pi] }[/math]. Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма[6]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается [math]\displaystyle{ \ln\,z }[/math]. Если [math]\displaystyle{ z }[/math] — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.
Логарифм отрицательного числа находится по формуле[18]:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x\gt 0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots) }[/math]
Примеры:
- [math]\displaystyle{ \ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi }[/math]
Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:
- [math]\displaystyle{ i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi }[/math] — явная ошибка.
Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви ([math]\displaystyle{ k=-1 }[/math]). Причина ошибки — неосторожное использование свойства [math]\displaystyle{ \log_a{(b^p)} = p~\log_a b }[/math], которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.
- Функции натурального логарифма на комплексной плоскости (главная ветвь)
-
[math]\displaystyle{ z=Re(\ln(x+iy))| }[/math]
-
[math]\displaystyle{ z=Im(\ln(x+iy))| }[/math]
-
[math]\displaystyle{ z=|\ln(x+iy)| }[/math]
-
Суперпозиция трёх предыдущих графиков
Функция натурального логарифма комплексного числа может быть также определена как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость, кроме нуля. Пусть кривая [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] начинается в единице, заканчивается в z, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке [math]\displaystyle{ w }[/math] кривой [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] можно определить по формуле[19]:
- [math]\displaystyle{ \ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u} }[/math]
Некоторые применения
Теория чисел
Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам[20]:
- Число простых чисел в интервале от 1 до [math]\displaystyle{ n }[/math] приблизительно равно [math]\displaystyle{ \frac{n}{\ln n} }[/math].
- k-е простое число приблизительно равно [math]\displaystyle{ k \ln k }[/math].
Математический анализ
Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. Примеры:
- [math]\displaystyle{ \int {\operatorname{tg} x} \, dx = -\ln |\cos x| + C; \quad \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}} = -\ln \ \left|\ x+\sqrt{x^2+a}\ \right| + C }[/math]
Теория вероятностей и статистика
В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение[21] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных[22].
Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия[23].
Флуктуации при случайном блуждании описывает закон Хинчина-Колмогорова.
Фракталы и размерность
Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала[24]. Например, рассмотрим треугольник Серпинского, который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое (см. рисунок). Размерность результата определяется по формуле:
- [math]\displaystyle{ \frac {\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}58 }[/math]
Механика и физика
Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.
Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.
Химия и физическая химия
Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.
Логарифм используется в определениях таких величин, как показатель константы автопротолиза (самоионизации молекулы) и водородный показатель (кислотности раствора).
Психология и физиология
Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.
Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула[25] — громкости звука[26], яркости света.
Закон Фиттса: чем дальше или точнее выполняется движение организма, тем больше коррекции необходимо для его выполнения и тем дольше эта коррекция исполняется[27].
Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по закону Хика[28].
Примечания
- ↑ Mortimer, Robert G. Mathematics for physical chemistry (неопр.). — 3rd. — Academic Press, 2005. — С. 9. — ISBN 0-125-08347-5., Extract of page 9 Архивная копия от 24 июня 2016 на Wayback Machine
- ↑ Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
- ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 34.
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
- ↑ 6,0 6,1 6,2 Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 159-160.
- ↑ Sasaki T., Kanada Y. Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) (англ.) // Journal of Information Processing. — 1982. — Vol. 5, iss. 4. — P. 247—250.
- ↑ Ahrendt, Timm. Fast computations of the exponential function. Lecture notes in computer science (неопр.). — 1999. — Т. 1564. — С. 302—312. — doi:10.1007/3-540-49116-3_28.
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 164.
- ↑ Рудио Ф. О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). — Изд. 3-е. — М.—Л.: ОГИЗ, 1936. — С. 89. — 237 с. — (Классики естествознания).
- ↑ Cajori, Florian. A History of Mathematics, 5th ed (неопр.). — AMS Bookstore, 1991. — С. 152. — ISBN 0821821024.
- ↑ Flashman, Martin. Estimating Integrals using Polynomials . Дата обращения: 30 июня 2011. Архивировано 11 февраля 2012 года.
- ↑ Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — С. 63.
- ↑ J J O'Connor and E F Robertson. The number e . The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Дата обращения: 30 июня 2011. Архивировано 11 февраля 2012 года.
- ↑ 16,0 16,1 История математики, том III, 1972, с. 325-328..
- ↑ Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 27, 230—231..
- ↑ 18,0 18,1 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 623..
- ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 45-46, 99-100..
- ↑ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
- ↑ Weisstein, Eric W. Log-Series Distribution (англ.). MathWorld. Дата обращения: 26 апреля 2012. Архивировано 11 мая 2012 года.
- ↑ Логарифмически нормальное распределение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- ↑ Максимального правдоподобия метод // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- ↑ Иванов М. Г. Размер и размерность // «Потенциал», август 2006.
- ↑ Головин С. Ю. ЗАКОН ВЕБЕРА-ФЕХНЕРА // Словарь практического психолога . Дата обращения: 17 апреля 2012. Архивировано 11 июня 2013 года.
- ↑ Ирина Алдошина. Основы психоакустики // Звукорежиссёр. — 1999. — Вып. 6. Архивировано 24 апреля 2012 года.
- ↑ Закон Фиттса // Психологическая энциклопедия (недоступная ссылка). Дата обращения: 17 апреля 2012. Архивировано 27 мая 2012 года.
- ↑ Welford, A. T. Fundamentals of skill. — London: Methuen, 1968. — P. 61. — ISBN 978-0-416-03000-6.
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
- Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
Ссылки
- "Разбираемся с натуральным логарифмом Архивная копия от 26 сентября 2013 на Wayback Machine" — перевод статьи Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained (англ.)