Гамма-функция

График гамма-функции действительной переменной

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Гамма-функция чрезвычайно широко применяется в науке. Среди основных областей её применения — математический анализ, теория вероятностей, комбинаторика, статистика, атомная физика, астрофизика, гидродинамика, сейсмология и экономика. В частности, гамма-функция используется для обобщения понятия факториала на множества действительных и комплексных значений аргумента.

Определения

Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt,z\in \mathbb{C},\mathrm{Re}(z)>0$

Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера (1730 г.)

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(-\ln x{)}^{z-1}dx$

через замену переменной $x=e^{-t}$, и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$.

Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства $\mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)/z$ и замены переменной $x=y^2$:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{2^{z+1}}{z}\underset{0}{\overset{1}{\int }}y(-\ln y{)}^{z}dy$.

Интеграл в этой формуле сходится при $\mathrm{Re}(z)>-1$, хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента $z>0$ подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при $y=0$, и если доопределить её в этой точке значением $0$, она станет непрерывной на всём отрезке $[0;1]$. Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает численное интегрирование.

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, кроме целых чисел, называемое интегралом Римана — Ханкеля:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{e^{i2\pi z}-1}\underset{L}{\int }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt,z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}.$

Здесь контур $L$ — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку $t=0$ против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями гамма-функции.

Определение по Гауссу

Оно верно для всех комплексных $z$, за исключением 0 и отрицательных целых чисел

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n-1)!n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1)},z\in \mathbb{C}\setminus \{0,-1,-2,\dots \}.$

Определение по Эйлеру

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^{\mathrm{z}}}{1+\frac{\mathrm{z}}{n}},z\in \mathbb{C}\setminus \{0,-1,-2,\dots \}.$

Определение по Вейерштрассу

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n},z\in \mathbb{C}\setminus \{0,-1,-2,\dots \}.$

где $\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)\approx 0,57722$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Примечание: иногда используется альтернативная, так называемая пи-функция, которая является обобщением факториала и связана с гамма-функцией соотношением $\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)$. Именно этой функцией (а не $\mathrm{\Gamma }$-функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX века.

Свойства

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Для любого положительного n верно:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ .

Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z),$

которое при фиксированном начальном условии единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию (теорема о единственности).

Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера:

$\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}$.

Также справедлива и формула умножения Гаусса:

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{n})\cdots \mathrm{\Gamma }(z+\frac{n-1}{n})=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot (2\pi {)}^{\frac{n-1}{2}}\mathrm{\Gamma }(nz),$

Частный случай этой формулы при n=2 был получен Лежандром:

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z).$

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. $\mathrm{\Gamma }(z)$ является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюсы в точках $z=0,-1,-2,-3,\dots$

Гамма-функция имеет полюс первого порядка в $z=-n$ для любого натурального $n$ и нуля; вычет в этой точке задаётся так:

${\mathrm{Res}}_{z=-n}\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{(-1{)}^n}{n!}$.

Полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

$\overline{\mathrm{\Gamma }(z)}=\mathrm{\Gamma }(\bar{z})$.

Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=\psi (x)\mathrm{\Gamma }(x)$, где $\psi (x)$, часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$.

Логарифм гамма-функции

По целому ряду причин наряду с гамма-функцией часто рассматривают и логарифм гамма-функции — первообразную дигамма-функции. Для него справедливы следующие интегральные представления:

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{1}{2}\ln 2\pi +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}]\frac{e^{-xz}}{x}dx,\mathrm{Re}z>0$

и

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{1}{2}\ln 2\pi +2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{arctg}(x/z)}{e^{2\pi x}-1}dx,\mathrm{Re}z>0$

данные Жаком Бине в 1839-м году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции). Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах Мальмстена, Лерха и некоторых других. Так, Мальмстен получил формулу, схожую с первой формулой Бине

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[z-1-\frac{1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}}]\frac{e^{-x}}{x}dx,\mathrm{Re}z>0$

а Лерх показывает, что все интегралы вида

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{2\pi x}\cos \phi -1}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\cos \phi +1}\mathrm{arctg}\frac{u}{x}dx,0<u⩽1,0<\phi <2\pi u$

также сводятся к логарифмам гамма-функции. В частности, формула, аналогичная второй формуле Бине с «сопряжённым» знаменателем, имеет следующий вид:

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=-(z-\frac{1}{2})\cdot \{1-\ln (z-\frac{1}{2})\}+\frac{1}{2}\ln 2\pi -2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{arctg}[x/(z-\frac{1}{2})]}{e^{2\pi x}+1}dx,\mathrm{Re}z>\frac{1}{2}$

(см. упр. 40 в)

Кроме того, Мальмстен также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции, содержащих гиперболические функции с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{2}\ln \pi -\frac{1}{2}\ln \sin \pi z-\frac{2z-1}{2}\ln 2\pi -\frac{\sin 2\pi z}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln x}{\mathrm{ch}x-\cos 2\pi z}dx,0<\mathrm{Re}z<1$

(см. упр. 2, 29-h, 30 в)

Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе $z=k/n$, где $k$ и $n$ целые положительные числа, такие, что $k$ не превосходит $n$, справедливо следующее представление:

$\ln \mathrm{\Gamma }(\frac{k}{n})=\frac{(n-2k)\ln 2\pi }{2n}+\frac{1}{2}\{\ln \pi -\ln \sin \frac{\pi k}{n}\}+$

$+\frac{1}{\pi }\sum _{r=1}^{n-1}\frac{\gamma +\ln r}{r}\cdot \sin \frac{2\pi rk}{n}-\frac{1}{2\pi }\sin \frac{2\pi k}{n}\cdot \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-nx}\cdot \ln x}{\mathrm{ch}x-\cos \frac{2\pi k}{n}}dx,k\ne \frac{n}{2}$

(см. приложение C, а также упр. 60 и 58)

Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и её производным, в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в.

Логарифм гамма-функции также тесно связан с аналитическим продолжением обобщённой дзета-функции

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)={\zeta }^{\prime }(0,z)-{\zeta }^{\prime }(0)={\zeta }^{\prime }(0,z)+\frac{1}{2}\ln 2\pi$

Это важнейшее взаимоотношение, выведенное Лерхом, позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма гамма-функции через известные формулы для обобщённой дзета-функции.

Ряд Фурье для логарифма гамма-функции имеет следующий вид

$\ln \mathrm{\Gamma }(x)=(\frac{1}{2}-x)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -\frac{1}{2}\ln \sin \pi x+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin 2\pi nx\cdot \ln n}{n},0<x<1$

Эта формула обычно приписывается Эрнсту Куммеру, который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма гамма-функции). Однако недавно было открыто, что эта формула была получена ещё в 1842 г. Карлом Мальмстеном (см. Ярослав Благушин).

Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд Стирлинга

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{1}{2}\ln 2\pi +\sum _{n=1}^N\frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}+O(z^{-2N-1}),|\arg z|<\frac{\pi }{2}$

В его стандартной вариации

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=z\ln z+O(z)$

где коэффициенты $B_{2n}$ означают числа Бернулли.

Из определения гамма-функции по Вейерштрассу следует ещё одно важное представление рядом

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{z}{n}-\ln (1+\frac{z}{n})]$.

Частные значения

Гамма-функция целого и полуцелого аргументов выражается через элементарные функции. В частности

$\mathrm{\Gamma }(1)=0!=1$

$\mathrm{\Gamma }(2)=1!=1$

$\mathrm{\Gamma }(3)=2!=2$

$\mathrm{\Gamma }(4)=3!=6$

$\mathrm{\Gamma }(5)=4!=24$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }.$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }.$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{4}\sqrt{\pi }.$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{15}{8}\sqrt{\pi }.$

$\mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{2})=-2\sqrt{\pi }.$

$\mathrm{\Gamma }(-\frac{3}{2})=\frac{4}{3}\sqrt{\pi }.$

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }=\sqrt{\pi }\cdot [(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\frac{1}{2}}{n})n!]$

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)=\frac{(-4{)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }=\frac{(-2{)}^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi }=\sqrt{\pi }/[(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n})n!]$

Поиск значения гамма-функции в точках 1/4 и 1/3 являлся объектом подробных изысканий Эйлера, Гаусса и Лежандра, однако им не удалось подсчитать эти значения в замкнутом виде.

Существуют следующие представления в незамкнутом виде для Γ(1/4)

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{AGM}(\sqrt{2},1)}}$

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})=(2\pi {)}^{\frac{3}{4}}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{th}\left(\frac{\pi k}{2}\right)$

$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})=A^3{e}^{-\frac{G}{\pi }}\sqrt{\pi }{2}^{\frac{1}{6}}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-\frac{1}{2k})}^{k(-1{)}^k}$

где AGM — функция арифметико-геометрического среднего, G — постоянная Каталана и A — постоянная Глейшера—Кинкелина.

Обобщения

В классическом интегральном определении гамма-функции пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также неполную гамма-функцию, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:

$\mathrm{\Gamma }(a,z)=\underset{\mathrm{z}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{a-1}dt$

и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:

$\gamma (a,z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{z}}{\int }}{e}^{-t}{t}^{a-1}dt$.

Иногда неполную гамма-функцию определяют как:

$I(z,a)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a)}\underset{0}{\overset{\mathrm{z}}{\int }}{e}^{-t}{t}^{a-1}dt$.

Вычисление интегралов

Важным применением Гамма функции служит сведение к ней интегралов следующего вида, где $a,\alpha ,\beta$ — постоянные параметры

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }\exp (-a{x}^{\beta })dx=a^{-\frac{\alpha +1}{\beta }}\cdot \frac{1}{\beta }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\alpha +1}{\beta }\right)$

Доказательстворазвернуть

После вынесения параметра:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }\exp (-a{x}^{\beta })dx=a^{-\frac{\alpha +1}{\beta }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(a^{1/\beta }x\right)}^{\alpha }\exp [-(a^{1/\beta }x{)}^{\beta }]d\left(a^{1/\beta }x\right)$

Внесения дифференциала:

$a^{-\frac{\alpha +1}{\beta }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\kappa }^{\alpha }\exp (-{\kappa }^{\beta })d\kappa =\frac{a^{-\frac{\alpha +1}{\beta }}}{\beta }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\kappa }^{\alpha +1-\beta }\exp (-{\kappa }^{\beta })d{\kappa }^{\beta }$

И замены переменной:

$\frac{a^{-\frac{\alpha +1}{\beta }}}{\beta }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\varkappa }^{\frac{\alpha +1}{\beta }-1}\exp (-\varkappa )d\varkappa =a^{-\frac{\alpha +1}{\beta }}\cdot \frac{1}{\beta }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\alpha +1}{\beta }\right)$

■

В частности, для широко встречающихся в приложениях физики интегралов Гауссова типа:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }\exp (-x^2/a^2)dx=a^{\alpha +1}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\alpha +1}{2}\right)$

И Эйлеровых интегралов:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }\exp (-x/a)dx=a^{\alpha +1}\cdot \mathrm{\Gamma }(\alpha +1)$

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• K-функция
• G-функция Барнса
• Бета-функция
• Гамма-распределение
• Неполная гамма-функция

Литература и ссылки

• В. Я. Арсенин. Математическая физика: основные уравнения и специальные функции, глава X, сс. 225—233. Наука, Москва, 1966.
• М. А. Евграфов. Аналитические функции, глава VI, сс. 267—273. Наука, Москва, 1968.
• М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций, сс. 307—316. Наука, Москва, 1969.
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), глава XIV, сс. 750—794. Наука, Москва, 1969.
• А. И. Маркушевич. Теория аналитических функций (2-е изд.), том 2, сс. 303—324. Наука, Москва, 1968.
• Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения (2-е изд.), глава I, сс. 11—27. ФМ, Москва, 1963.
• А. Ф. Никифоров и В. Б. Уваров. Специальные функции математической физики, сс. 263—268. Наука, Москва, 1978.
• Пагурова В. И. Таблицы неполной гамма-функции. (Редактор Диткин В. А.). Москва, Изд-во ВЦ АН СССР, 1963. 236 с.
• R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
• M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
• E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1931.
• N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.