Производная Римана

Производная Римана, производная Шварца или вторая симметрическая производная , функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — предел

[math]\displaystyle{ D^2f=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{f(x_0-\varepsilon)-2f(x_0)+f(x_0+\varepsilon)}{\varepsilon^2} }[/math]

Связанные определения

Верхний и нижний пределы

[math]\displaystyle{ \frac{f(x_0-\varepsilon)-2f(x_0)+f(x_0+\varepsilon)}{\varepsilon^2} }[/math]

при [math]\displaystyle{ \varepsilon\to0 }[/math] называются соответственно верхней [math]\displaystyle{ \bar D^2f(x_0) }[/math] и нижней [math]\displaystyle{ \underline{D}_2f(x_0) }[/math] производной Римана.

Свойства

• Если в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] существует 2-я производная [math]\displaystyle{ f''(x_0 }[/math]), то существует производная Римана и [math]\displaystyle{ D^2f(x_0)=f''(x_0) }[/math].
  • Обратное неверно.

История

Введена Риманом в 1854, производная Римана получила широкое применение в теории представления функций тригонометрическими рядами; в частности, в связи с методом суммирования Римана.