Перейти к содержанию

Производная Пеано

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Производная Пеано ― одно из обобщений понятия производной.

Пусть имеет место равенство

[math]\displaystyle{ f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+\frac{a_r}{r!}(x-x_0)^r+\gamma(x)(x-x_0)^r }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_0,a_1,\dots,a_r }[/math] ― постоянные и [math]\displaystyle{ \gamma(x) \to 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ x\to x_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma(x_0)=0 }[/math]. Тогда число [math]\displaystyle{ a_r }[/math] называется обобщенной производной Пеано порядка [math]\displaystyle{ r }[/math] функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Обозначение: [math]\displaystyle{ f_{(r)}(x_0) = a_r }[/math], в частности [math]\displaystyle{ f_{(0)}(x_0)=f(x_0) }[/math], [math]\displaystyle{ f_{(1)}(x_0)= f'(x_0) }[/math].

Свойства

  • Если существует [math]\displaystyle{ f^{(r)}(x_0) }[/math], то существует и [math]\displaystyle{ f_{(k)}(x_0) }[/math] для [math]\displaystyle{ k\le r }[/math].
  • Если существует конечная обычная двусторонняя производная [math]\displaystyle{ f^{(r)}(x_0) }[/math], то [math]\displaystyle{ f_{(r)}(x_0)=f^{(r)}(x_0) }[/math]. Обратное неверно при [math]\displaystyle{ r\gt 1 }[/math]: для функции [math]\displaystyle{ f(x)=x^nD(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ D }[/math] — функция Дирихле все [math]\displaystyle{ f_{(r)}(0)=0 }[/math] для [math]\displaystyle{ r\lt n }[/math] тогда как [math]\displaystyle{ f^{(r)}(0) }[/math] не определена для всех [math]\displaystyle{ r\gt 1 }[/math].