Полная производная функции
Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.
Расчёт полной производной функции [math]\displaystyle{ f = f(t, x(t), y(t)) }[/math] по времени t, [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} }[/math] (в отличие от частной производной, [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t} }[/math]) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.
Оператор \ Функция | [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] | [math]\displaystyle{ f(x, y, u(x, y), v(x, y)) }[/math] |
---|---|---|
Дифференциал | 1: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x }[/math] | 2: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}_x\!f
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}
f'_x\operatorname{d}\!x }[/math]
3: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x + f'_y\operatorname{d}\!y + f'_u\operatorname{d}\!u + f'_v\operatorname{d}\!v }[/math] |
Частная производная | [math]\displaystyle{ f'_x \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} }[/math] | [math]\displaystyle{ f'_x \overset{\underset{\mathrm{(2)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}_x\!f}{\operatorname{d}\!x} = {\partial f\over \partial x} }[/math] |
Полная производная | [math]\displaystyle{ \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} f'_x }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} \overset{\underset{\mathrm{(3)}}{}}{=} f'_x + f'_u \frac{\operatorname{d}\!u}{\operatorname{d}\!x} + f'_v \frac{\operatorname{d}\!v}{\operatorname{d}\!x}; (f'_y \frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = 0) }[/math] |
Пример № 1
Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t_0, x(t_0), y(t_0))= \left.\frac{\partial f}{\partial t} \right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}, }[/math]
что упрощается до
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t, x(t), y(t))= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} }[/math] — частные производные.
Следует отметить, что обозначение [math]\displaystyle{ \frac{df}{dt} }[/math] является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.
Пример №2
Например, полная производная функции [math]\displaystyle{ f(x(t), y(t)) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ { df \over dt } = { \partial f \over \partial x}{ dx \over \ dt }+{ \partial f \over \partial y}{ dy \over dt } }[/math]
Здесь нет [math]\displaystyle{ { \partial f \over \partial t } }[/math] так как [math]\displaystyle{ f }[/math] сама по себе («явно») не зависит от [math]\displaystyle{ t }[/math].
Приложения
См. также
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |