Перейти к содержанию

Полная производная функции

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции [math]\displaystyle{ f = f(t, x(t), y(t)) }[/math] по времени t, [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} }[/math] (в отличие от частной производной, [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t} }[/math]) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Оператор \ Функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] [math]\displaystyle{ f(x, y, u(x, y), v(x, y)) }[/math]
Дифференциал 1: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x }[/math] 2: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}_x\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x }[/math]

3: [math]\displaystyle{ \operatorname{d}\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x + f'_y\operatorname{d}\!y + f'_u\operatorname{d}\!u + f'_v\operatorname{d}\!v }[/math]

Частная производная [math]\displaystyle{ f'_x \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} }[/math] [math]\displaystyle{ f'_x \overset{\underset{\mathrm{(2)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}_x\!f}{\operatorname{d}\!x} = {\partial f\over \partial x} }[/math]
Полная производная [math]\displaystyle{ \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} f'_x }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x} \overset{\underset{\mathrm{(3)}}{}}{=} f'_x + f'_u \frac{\operatorname{d}\!u}{\operatorname{d}\!x} + f'_v \frac{\operatorname{d}\!v}{\operatorname{d}\!x}; (f'_y \frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = 0) }[/math]

Пример № 1

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t_0, x(t_0), y(t_0))= \left.\frac{\partial f}{\partial t} \right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{t_0,x(t_0),y(t_0)} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}, }[/math]

что упрощается до

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t, x(t), y(t))= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} }[/math] — частные производные.

Следует отметить, что обозначение [math]\displaystyle{ \frac{df}{dt} }[/math] является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пример №2

Например, полная производная функции [math]\displaystyle{ f(x(t), y(t)) }[/math]:

[math]\displaystyle{ { df \over dt } = { \partial f \over \partial x}{ dx \over \ dt }+{ \partial f \over \partial y}{ dy \over dt } }[/math]

Здесь нет [math]\displaystyle{ { \partial f \over \partial t } }[/math] так как [math]\displaystyle{ f }[/math] сама по себе («явно») не зависит от [math]\displaystyle{ t }[/math].

Приложения

См. также