Оператор Д’Аламбера

Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) — дифференциальный оператор второго порядка

[math]\displaystyle{ \square u := \Delta u-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — оператор Лапласа, [math]\displaystyle{ c }[/math] — постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком.

Имеет в декартовых координатах вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}, }[/math]

позволяющий прямое обобщение на любую конечную размерность пространства, как больше, так и меньше трёх (такое обобщение носит также название оператора Д’Аламбера, с добавлением, если это не ясно из контекста, «[math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный»).

В случае вектора оператор Даламбера приобретает вид:

[math]\displaystyle{ \square \mathbf{A} := \Delta \mathbf{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} }[/math] , где [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] - вектор, [math]\displaystyle{ \mathbf{A} = A_x \mathbf i + A_y \mathbf j + A_z \mathbf k }[/math]

[math]\displaystyle{ \square \mathbf{A} := \Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2} (A_{x}\mathbf {i} + A_{y}\mathbf {j} + A_{z}\mathbf {k}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \square \mathbf{A} := \biggl(\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf i+ \biggl(\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf j+ \biggl(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf k - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2} (A_{x}\mathbf {i} + A_{y}\mathbf {j} + A_{z}\mathbf {k}) }[/math]

Назван по имени Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1747), который рассматривал его простейший вид при решении одномерного волнового уравнения.

Применяется в электродинамике, акустике и других задачах распространения волн (преимущественно линейных). Оператор Д’Аламбера (соответствующей размерности) входит в волновое уравнение любой размерности, составляя его основу, а также в уравнение Клейна — Гордона — Фока.

Нетрудно увидеть, что оператор Д’Аламбера есть обобщение оператора Лапласа на случай пространства Минковского.

Запись в криволинейных координатах

Оператор Д’Аламбера в сферических координатах:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \Theta}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left(\sin\Theta\frac{\partial u}{\partial\Theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\Theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}; }[/math]

в цилиндрических координатах:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial u}{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}; }[/math]

в общих криволинейных координатах (для пространства-времени):

[math]\displaystyle{ \square u\equiv\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\left(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\frac{\partial u}{\partial x^\mu}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ g }[/math] — определитель матрицы [math]\displaystyle{ \|g_{\mu\nu}\| }[/math], составленный из коэффициентов метрического тензора [math]\displaystyle{ g_{\mu\nu} }[/math].

Литература

• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.
• И.В.Савельев "Курс общей физики" том II