Эйлеровы числа

Эйлеровы числа (или числа Эйлера) — целые числа [math]\displaystyle{ E_0, E_1, E_2, \dots }[/math], использующиеся при разложении гиперболического секанса в степенной ряд^[1]

[math]\displaystyle{ \frac 1{\operatorname{ch}(t)} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n \cdot t^n}{n!} }[/math].

Здесь ch(t) обозначает гиперболический косинус.

Так как функция ch(t) чётная, то

[math]\displaystyle{ E_1 = E_3 = E_5 = \dots = E_{2n+1} = \dots = 0 }[/math]

Начальные числа Эйлера с чётными индексами (последовательность A028296 в OEIS):

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1385

E₁₀ = −50521

Эйлеровы числа связаны с числами Бернулли следующими соотношениями:

[math]\displaystyle{ E_{n-1} = \frac{ (4B-1)^n - (4B-3)^n }{ 2n }, }[/math]

[math]\displaystyle{ E_{2n} = \frac{ 4^{2n+1} }{ 2n+1 } (B-0.25)^{2n+1}. }[/math]

После раскрытия скобок степень числа B следует заменить на индекс.

Примечания

Эйлеровы числа // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1984-1985. — Том 5, стр. 937.