Производная Пинкерле
В математике, производная Пинкерле T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]
- [math]\displaystyle{ T' := [T,x] = Tx-xT = -\operatorname{ad}(x)T. }[/math]
Более подробно, на многочлене [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] этот оператор действует следующим образом:
- [math]\displaystyle{ T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad\forall p(x)\in \mathbb{K}[x]. }[/math]
Названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинкерле.
Свойства
Производная Пинкерле, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора [math]\displaystyle{ \scriptstyle S }[/math] и [math]\displaystyle{ \scriptstyle T }[/math], принадлежащих [math]\displaystyle{ \scriptstyle \operatorname{End} \left( \mathbb K[x] \right) }[/math], выполняется
- [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ (T + S)^\prime = T^\prime + S^\prime } }[/math] ;
- [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ (TS)^\prime = T^\prime\!S + TS^\prime } }[/math] где [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ TS = T \circ S} }[/math] является композицией операторов ;
Также [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ [T,S]^\prime = [T^\prime , S] + [T, S^\prime ] }, }[/math] где [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ [T,S] = TS - ST} }[/math] — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.
Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна
- [math]\displaystyle{ D'= \left({d \over {dx}}\right)' = \operatorname{Id}_{\mathbb K [x]} = 1. }[/math]
По индукции, эта формула обобщается до
- [math]\displaystyle{ (D^n)'= \left({{d^n} \over {dx^n}}\right)' = nD^{n-1}. }[/math]
Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора
- [math]\displaystyle{ \partial = \sum a_n {{d^n} \over {dx^n} } = \sum a_n D^n }[/math]
также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование [math]\displaystyle{ \scriptstyle \operatorname{Diff}(\mathbb K [x]) }[/math].
Оператор сдвига
- [math]\displaystyle{ S_h(f)(x) = f(x+h) }[/math]
может быть записан
- [math]\displaystyle{ S_h = \sum_{n=0} {{h^n} \over {n!} }D^n }[/math]
с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерле равняется
- [math]\displaystyle{ S_h' = \sum_{n=1} {{h^n} \over {(n-1)!} }D^{n-1} = h \cdot S_h. }[/math]
Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ \mathbb K } }[/math].
Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с Sh или [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ [T,S_h] = 0} }[/math], мы также имеем: [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ [T',S_h] = 0} }[/math], так что [math]\displaystyle{ \scriptstyle T' }[/math] также является инвариантным к тому же сдвигу [math]\displaystyle{ \scriptstyle h }[/math].
Дельта-оператор[англ.] дискретного времени
- [math]\displaystyle{ (\delta f)(x) = {{ f(x+h) - f(x) } \over h } }[/math]
это оператор
- [math]\displaystyle{ \delta = {1 \over h} (S_h - 1), }[/math]
чья производная Пинкерле — оператор сдвига [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ \delta ' = S_h } }[/math].
См. также
Ссылки
В статье есть список источников, но не хватает сносок. |
- Weisstein, Eric W. Pincherle Derivative. MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- Biography of Salvatore Pincherle на MacTutor History of Mathematics archive.