Перейти к содержанию

Производная Пинкерле

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

В математике, производная Пинкерле T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]

[math]\displaystyle{ T' := [T,x] = Tx-xT = -\operatorname{ad}(x)T. }[/math]

Более подробно, на многочлене [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] этот оператор действует следующим образом:

[math]\displaystyle{ T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad\forall p(x)\in \mathbb{K}[x]. }[/math]

Названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинкерле.

Свойства

Производная Пинкерле, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора [math]\displaystyle{ \scriptstyle S }[/math] и [math]\displaystyle{ \scriptstyle T }[/math], принадлежащих [math]\displaystyle{ \scriptstyle \operatorname{End} \left( \mathbb K[x] \right) }[/math], выполняется

  1. [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ (T + S)^\prime = T^\prime + S^\prime } }[/math] ;
  2. [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ (TS)^\prime = T^\prime\!S + TS^\prime } }[/math] где [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ TS = T \circ S} }[/math] является композицией операторов ;

Также [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ [T,S]^\prime = [T^\prime , S] + [T, S^\prime ] }, }[/math] где [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ [T,S] = TS - ST} }[/math] — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна

[math]\displaystyle{ D'= \left({d \over {dx}}\right)' = \operatorname{Id}_{\mathbb K [x]} = 1. }[/math]

По индукции, эта формула обобщается до

[math]\displaystyle{ (D^n)'= \left({{d^n} \over {dx^n}}\right)' = nD^{n-1}. }[/math]

Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора

[math]\displaystyle{ \partial = \sum a_n {{d^n} \over {dx^n} } = \sum a_n D^n }[/math]

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование [math]\displaystyle{ \scriptstyle \operatorname{Diff}(\mathbb K [x]) }[/math].

Оператор сдвига

[math]\displaystyle{ S_h(f)(x) = f(x+h) }[/math]

может быть записан

[math]\displaystyle{ S_h = \sum_{n=0} {{h^n} \over {n!} }D^n }[/math]

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерле равняется

[math]\displaystyle{ S_h' = \sum_{n=1} {{h^n} \over {(n-1)!} }D^{n-1} = h \cdot S_h. }[/math]

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ \mathbb K } }[/math].

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с Sh или [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ [T,S_h] = 0} }[/math], мы также имеем: [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ [T',S_h] = 0} }[/math], так что [math]\displaystyle{ \scriptstyle T' }[/math] также является инвариантным к тому же сдвигу [math]\displaystyle{ \scriptstyle h }[/math].

Дельта-оператор[англ.] дискретного времени

[math]\displaystyle{ (\delta f)(x) = {{ f(x+h) - f(x) } \over h } }[/math]

это оператор

[math]\displaystyle{ \delta = {1 \over h} (S_h - 1), }[/math]

чья производная Пинкерле — оператор сдвига [math]\displaystyle{ \scriptstyle{ \delta ' = S_h } }[/math].

См. также

Ссылки