Формальный степенной ряд

Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

[math]\displaystyle{ F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, }[/math]

в котором коэффициенты [math]\displaystyle{ a_n }[/math] принадлежат некоторому кольцу [math]\displaystyle{ R }[/math].

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия

Алгебраические операции

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения ([math]\displaystyle{ + }[/math]), умножения ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]), формального дифференцирования ([math]\displaystyle{ ' }[/math]) и композиции ([math]\displaystyle{ \circ }[/math]) следующим образом. Пусть

[math]\displaystyle{ F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, \qquad G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, \qquad H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n. }[/math]

Тогда

[math]\displaystyle{ H = F + G \iff \forall n \, c_n = a_n + b_n; }[/math]

[math]\displaystyle{ H = F \,\cdot\, G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l; }[/math]

[math]\displaystyle{ H = F' \iff \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}; }[/math]

[math]\displaystyle{ H = F \circ G \iff \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\ldots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\ldots b_{k_s} }[/math] (при этом необходимо, чтобы [math]\displaystyle{ b_0=0 }[/math]).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом [math]\displaystyle{ R }[/math] сами образуют кольцо, обозначаемое [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math].

Метрика и топология

В кольце [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math] также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

[math]\displaystyle{ d((a_n),\; (b_n)) = 2^{-k}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ k }[/math] — наименьшее натуральное число такое, что [math]\displaystyle{ a_k \ne b_k }[/math].

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы

Формальный ряд

[math]\displaystyle{ F(X)=\sum_{n=0}^\infty a_n X^n }[/math]

в [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math] является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] является обратимым в [math]\displaystyle{ R }[/math]. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен [math]\displaystyle{ a_0b_0 }[/math], и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда [math]\displaystyle{ G(X) }[/math] определяются по формуле:

[math]\displaystyle{ \begin{align}b_0 &= \frac{1}{a_0},\\ b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i},\qquad \forall n \geqslant 1. F(X) G(X) = 1 \end{align} }[/math]

Если же [math]\displaystyle{ F(0)=0 }[/math], а также [math]\displaystyle{ F'(0) \not= 0 }[/math], то найдётся ряд [math]\displaystyle{ G(X) }[/math] (аналогично [math]\displaystyle{ H(X) }[/math]), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что [math]\displaystyle{ F(G(X))=X }[/math] (аналогично [math]\displaystyle{ H(F(X))=X) }[/math]).

При этом будет выполнено [math]\displaystyle{ G(0)=0 }[/math] (аналогично [math]\displaystyle{ H(0)=0 }[/math]). Оставшиеся коэффициенты ряда [math]\displaystyle{ G(X) }[/math] ([math]\displaystyle{ H(X) }[/math]) можно выразить через коэффициенты [math]\displaystyle{ F(X) }[/math] пошагово дифференцируя равенство [math]\displaystyle{ F(G(X))=X }[/math] (аналогично [math]\displaystyle{ H(F(X))=X) }[/math]) и подставляя в него [math]\displaystyle{ X=0 }[/math].

Свойства

• Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы [math]\displaystyle{ M }[/math], для которых [math]\displaystyle{ M\cap R }[/math] является максимальным идеалом в [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ M }[/math] есть порождение [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ M\cap R }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ R }[/math] является локальным кольцом, то локальным кольцом является также [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math].
• [math]\displaystyle{ R }[/math] — нётерово кольцо, то [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math] также является кольцом Нётер.
• Если [math]\displaystyle{ R }[/math] — область целостности, то [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math] также будет областью целостности.
• Метрическое пространство [math]\displaystyle{ (R[[X]],\; d) }[/math] является полным.
• Кольцо [math]\displaystyle{ R[[X]] }[/math] является компактным тогда, когда кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math] является конечным.
• Лемма Бореля — Уитни: для любого формального ряда существует такая бесконечно-гладкая функция, ряд Тейлора которой совпадает с данным формальным рядом.

См. также

• Степенной ряд
• Производящая функция последовательности

Ссылки

• Формальные степенные ряды на сайте PlanetMath.
• Павлова Н. Г., Ремизов А. О. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 49—65.