Тело Штейнмеца

Тело Штейнмеца — это тело, полученное пересечением двух или трёх цилиндров одинакового радиуса, перпендикулярных друг другу. Каждая кривая, образованная пересечением цилиндров, является эллипсом.

Пересечение двух цилиндров называется бицилиндром. Топологически бицилиндр эквивалентен квадратному осоэдру. Так же существуют тела аналогичные по образованию телу Штейнмаца, например: пересечение трёх цилиндров называется трицилиндром, а половина бицилиндра называется сводом^[1]. ^[2]Купольный свод^[англ.] в архитектуре так-же является сводом.

Тела Штейнмеца названы именем математика Чарлза Протеуса Штейнмеца^[3], решившего задачу нахождения объёма пересечения. Однако, эта задача была решена задолго до него Архимедом в древней Греции^[4]^[5], Цзу Чунчжи в древнем Китае^[6] и Пьеро делла Франческа во времена раннего итальянского Ренессанса^[4].

Бицилиндр

Бицилиндр, образованный двумя цилиндрами с радиусами [math]\displaystyle{ r }[/math], имеет объём: [math]\displaystyle{ V=\frac{16}{3} r^3 }[/math], и площадь поверхности [math]\displaystyle{ S=16 r^2 }[/math]^[1]^[7].

Верхняя половина бицилиндра является квадратным вариантом сомкнутого свода^[англ.], куполовидного тела, опирающегося на выпуклый многоугольник, горизонтальные сечения которого являются уменьшенными копиями основания. Имеют место аналогичные формулы вычисления объёма и площади поверхности сомкнутого свода как соответствующих величин (с некоторыми рациональными коэффициентами) призмы с тем же основанием^[8].

Получение формулы объёма

Для получения формулы объёма удобно использовать общую идею вычисления объёма сферы — суммирование тонких цилиндрических слоёв. В нашем случае слоями будут квадратные параллелепипеды (см. рисунок). Тогда получим:

[math]\displaystyle{ V = \int_{-r}^{r} (2x)^2 \mathrm{d}z = 4\cdot \int_{-r}^{r} x^2 \mathrm{d}z = 4\cdot \int_{-r}^{r} (r^2-z^2) \mathrm{d}z=\frac{16}{3} r^3 }[/math].

Известно, объёмы вписанного в полусферу конуса (с высотой полусферы и опирающегося на основание полусферы), полусферы и описанного вокруг сферы цилиндра (с высотой полусферы) относятся как 1: 2: 3. Для половины бицилиндра верны аналогичные утверждения:

Отношения объёмов вписанной квадратной пирамиды ([math]\displaystyle{ a=2r, h=r, V=\frac{4}{3}r^3 }[/math]), половины бицилиндра ([math]\displaystyle{ V=\frac{8}{3} r^3 }[/math]) и описанного прямоугольного параллелепипеда ([math]\displaystyle{ a= 2r,\, h=r,\, V=4r^3 }[/math]) равны 1: 2: 3.

Аналитический вывод

Рассмотрим формулы цилиндров:

[math]\displaystyle{ x^2+z^2=r^2 }[/math] и [math]\displaystyle{ x^2+y^2=r^2 }[/math]

Объём задаётся формулой:

[math]\displaystyle{ V = \iiint_V \mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x }[/math]

С пределами интегрирования:

[math]\displaystyle{ -\sqrt{r^2-x^2} \leqslant z \leqslant \sqrt{r^2-x^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ -\sqrt{r^2-x^2} \leqslant y \leqslant \sqrt{r^2-x^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ -r \leqslant x \leqslant r }[/math]

Подстановкой получим:

[math]\displaystyle{ V = \int\limits_{-r}^{r}\int\limits_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\int\limits_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} \mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x = 8r^3-\frac{8r^3}{3} = \frac{16r^3}{3} }[/math]

Доказательство формулы площади

Рассматриваемая поверхность состоит из двух красных и двух синих цилиндрических двуугольников. Один красный двуугольник делится пополам y-z-плоскостью и разворачивается на плоскости так, что половина окружности (пересечение с плоскостью y-z) разворачивается в положительную [math]\displaystyle{ \xi }[/math]-ось, а развёрнутый биугол ограничен сверху дугой [math]\displaystyle{ \eta=r\sin\left(\frac{\xi}{r}\right), \ 0\leqslant\xi\leqslant \pi r }[/math]. Следовательно, площадь этой развёрнутой фигуры (половины двуугольника) равна:

[math]\displaystyle{ B = \int_{0}^{\pi r} r\sin\left(\frac{\xi}{r}\right) \mathrm{d}\xi = 2r^2 }[/math]

а площадь полной поверхности равна:

[math]\displaystyle{ A=8\cdot B=16r^2 }[/math].

Альтернативное доказательство формулы объёма

Вывод объёма бицилиндра (белого) можно провести путём упаковки в куб (красный). Пересечение плоскости (параллельной осям цилиндра) и бицилиндра образует квадрат, а пересечение с кубом образует больший квадрат. Разница между площадями этих двух квадратов та же, что и у 4 маленьких квадратов (синих). При движении плоскости через тело эти синие квадраты образуют квадратные пирамиды с равнобедренными гранями по углам куба. Пирамиды имеют вершины в серединах четырёх рёбер куба. Продвижение плоскости через весь бицилиндр обрисует 8 пирамид.

Метод Цзу Чунчжи (подобен методу неделимых) для вычисления объёма сферы включает вычисление объёма бицилиндра.
Связь площади сечения поверхности бицилиндра с сечением куба

Объём куба (красный) минус объём восьми пирамид (синие) равен объёму бицилиндра (белый). Объём 8 пирамид равен [math]\displaystyle{ \textstyle 8 \times \frac{1}{3} r^2 \times r = \frac{8}{3} r^3 }[/math], и мы можем теперь вычислить объём бицилиндра [math]\displaystyle{ \textstyle (2 r)^3 - \frac{8}{3} r^3 = \frac{16}{3} r^3 }[/math]

Трицилиндр

Пересечение трёх цилиндров с перпендикулярными пересекающимися осями образует поверхность тела с вершинами, в каждой из которых сходятся 3 ребра, и вершинами, в каждой из которых сходятся 4 ребра. Ключевым фактом для определения объёма и площади поверхности является наблюдение, что трицилиндр можно собрать из куба, вершины которого совпадают с вершинами трицилиндра, в которых сходятся 3 ребра (см. рисунок), и 6 криволинейных пирамид (треугольники являются частями поверхностей цилиндров). Объём и площадь поверхности криволинейных треугольников можно вычислить аналогично сделанному выше для бицилиндра^[1]^[7].

Объём трицилиндра равен:

[math]\displaystyle{ V=8(2 - \sqrt{2}) r^3 }[/math]

А площадь поверхности равна:

[math]\displaystyle{ A=24(2 - \sqrt{2}) r^2. }[/math]

Пересечение большего числа цилиндров

Для четырёх цилиндров, оси которых соответствуют высотам тетраэдра, объём равен^[1]^[7]:

[math]\displaystyle{ V_4=12 \left( 2\sqrt{2} - \sqrt{6} \right) r^3 \, }[/math]

Для шести цилиндров, оси которых параллельны диагоналям граней куба, объём равен^[1]^[7]:

[math]\displaystyle{ V_6=\frac{16}{3} \left( 3 + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \right) r^3 \, }[/math]

См. также

Унгула^[англ.]

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Steinmetz Solid (англ.) (неопр.) ?. MathWorld.. Дата обращения: 27 октября 2021. Архивировано 28 октября 2021 года.
↑ Купольный свод – это вариант сомкнутого свода. Сомкнутый свод имеет в основании прямоугольник, купольный – квадрат.
↑ Eves, 1981, с. 111.
↑ ^4,0 ^4,1 Peterson, 1997, с. 33–40.
↑ Hogendijk, 2002, с. 199–203.
↑ Swetz, 1995, с. 142–145.
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 Moore, 1974, с. 181–185.
↑ Apostol, Mnatsakanian, 2006, с. 521–540.

Литература

Howard Eves. Slicing it thin // The mathematical Gardner, Wadsworth International. — 1981. — С. 111.
Jan Hogendijk. The surface area of the bicylinder and Archimedes' Method // Historia Mathematica. — 2002. — Т. 29, вып. 2. — С. 199–203. — doi:10.1006/hmat.2002.2349.
Frank J. Swetz. The volume of a sphere: A Chinese derivation // The Mathematics Teacher. — 1995. — Февраль (т. 88, вып. 2). — С. 142–145. — JSTOR 27969235.
Mark A. Peterson. The geometry of Piero della Francesca // The Mathematical Intelligencer. — 1997. — Т. 19, вып. 3. — С. 33–40. — doi:10.1007/BF03025346.
Moore, M. Symmetrical intersections of right circular cylinders // The Mathematical Gazette. — 1974. — Т. 58, вып. 405. — С. 181–185. — doi:10.2307/3615957. — JSTOR 3615957.
Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Solids circumscribing spheres // American Mathematical Monthly. — 2006. — Т. 113, вып. 6. — С. 521–540. — doi:10.2307/27641977. — JSTOR 27641977.

Ссылки

A 3D model of Steinmetz solid in Google 3D Warehouse

[StSo-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Steinmetz Solid (англ.) (неопр.) ?. MathWorld.. Дата обращения: 27 октября 2021. Архивировано 28 октября 2021 года.

[2] Купольный свод – это вариант сомкнутого свода. Сомкнутый свод имеет в основании прямоугольник, купольный – квадрат.

[_e6a272c0991702b0-3] Eves, 1981, с. 111.

[_f8f652070aee4578-4] 4,0 ^4,1 Peterson, 1997, с. 33–40.

[_44fc3a8c4e1ecb67-5] Hogendijk, 2002, с. 199–203.

[_a4b408b4a9ef9090-6] Swetz, 1995, с. 142–145.

[_8a34cf83677bdf1b-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 Moore, 1974, с. 181–185.

[_72b1c6818348aeef-8] Apostol, Mnatsakanian, 2006, с. 521–540.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Разделы вещественного анализа
Основы анализа	Функция Эйлера [math]\displaystyle{ \phi(n) }[/math] Функция Жордана Бином Ньютона Выпуклая функция Непрерывное отображение Факториал Конечные разности Свободные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля Секущая Угловой коэффициент Касательная
Пределы	Раскрытие неопределённостей Предел функции Односторонний предел Предел последовательности Порядок аппроксимации (ε, δ)-определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная функции Дифференциальное уравнение Дифференциальный оператор Теорема о среднем Обозначения Нотация Лейбница Нотация Ньютона Правила дифференцирования Линейность Дифференцирование степени Дифференцирование сложной функции Правило Лопиталя Правило произведения Формула Лейбница Производная от дроби Другие техники Неявное дифференцирование Дифференцирование обратной функции Логарифмическая производная Связанные коэффициенты Стационарные точки Тест первой производной Тест второй производной Теорема об экстремумах Экстремум Другие приложения Метод Ньютона Теорема Тейлора
Интеграл	Первообразная Длина кривой Постоянная интегрирования Основная теорема анализа Дифференцирование под знаком интеграла Интегрирование по частям Метод подстановки Тригонометрическая подстановка Подстановки Эйлера Подстановка Вейерштрасса Разложение на простейшие Квадратичный интеграл Метод трапеций Объёмы Метод Вошера Интегрирование подграфика
Векторный анализ	Derivatives Ротор Производная по направлению Дивергенция Градиент Лапласиан Основные теоремы Теорема о градиенте Теорема Грина Теорема Стокса Формула Гаусса — Остроградского
Анализ функций многих переменных	Формула Гаусса — Остроградского Геометрический анализ Гессиан функции Матрица Якоби Множители Лагранжа Криволинейный интеграл Матричный анализ Кратный интеграл Частная производная Поверхностные интегралы Интеграл по объёму Дополнительные главы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщённая теорема Стокса Тензорный анализ)
Последовательности и ряды	Арифметико-геометрическая прогрессия Виды рядов Знакочередующийся Биномиальный Ряд Фурье Геометрический ряд Гармонический Ряд Степенной Маклорена Тейлора Телескопический Признаки сходимости Абеля Лейбница Коши Признак сравнения Дирихле Интегральный Сравнение пределов Д’Аламбера Радикальный Необходимое условие
Специальные функции и числа	Числа Бернулли e (число) Показательная функция Натуральный логарифм Формула Стирлинга
Анализ бесконечно малых	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Универсальность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц Бесконечно малая и бесконечно большая Исаак Ньютон Флюксии Метод флюксий Принцип непрерывности Леонард Эйлер Метод механических теорем