Пересечение множеств

Пересечение [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math]

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ A\cap B }[/math], но в редких случаях может обозначаться [math]\displaystyle{ AB }[/math].

Определение

Пересечение двух множеств

Пусть даны множества [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math]. Тогда их пересечением называется множество

[math]\displaystyle{ A \cap B = \{x \mid x\in A \wedge x \in B\}. }[/math]

Пересечение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств [math]\displaystyle{ \{M_{\alpha}\}_{\alpha \in A}. }[/math] Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства:

[math]\displaystyle{ \bigcap\limits_{\alpha \in A} M_{\alpha} = \{x \mid \forall \alpha \in A,\; x \in M_{\alpha}\}. }[/math]

Свойства

• Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане [math]\displaystyle{ 2^X }[/math];
• Операция пересечения множеств коммутативна

  [math]\displaystyle{ A \cap B = B \cap A; }[/math]

• Операция пересечения множеств ассоциативна:

  [math]\displaystyle{ (A\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C); }[/math]

• Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:

  [math]\displaystyle{ \left( \bigcup_k A_k \right) \cap B = \bigcup_k \left( A_k \cap B\right) }[/math]

• Универсальное множество [math]\displaystyle{ U }[/math] является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

  [math]\displaystyle{ A\cap U = A; }[/math]

• Операция пересечения множеств идемпотентна:

  [math]\displaystyle{ A \cap A = A; }[/math]

• Если [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] — пустое множество, то

  [math]\displaystyle{ A \cap \varnothing = \varnothing. }[/math]

Пример

Пусть [math]\displaystyle{ A = \{1,\;2,\;3,\;4\} }[/math], [math]\displaystyle{ B = \{3,\;4,\;5,\;6,\;7\} }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ A \cap B = \{3,\;4\}. }[/math]

См. также

• Операции над множествами