Интеграл Лебега
Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.
Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).
Идея построения интеграла Лебега[1] состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.
Определение
Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{F},\mu) }[/math], и на нём определена измеримая функция [math]\displaystyle{ f\colon(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathcal B(\mathbb R) }[/math] — борелевская [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-алгебра на вещественной оси.
Определение 1. Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — индикатор некоторого измеримого множества, то есть [math]\displaystyle{ f(x) = \mathbf{1}_A(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ A \in \mathcal{F} }[/math]. Тогда интеграл Лебега функции [math]\displaystyle{ f }[/math] по определению:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ). }[/math]
Определение 2. Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — простая функция, то есть [math]\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ \{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R} }[/math], а [math]\displaystyle{ \{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F} }[/math] — конечное разбиение [math]\displaystyle{ X }[/math] на измеримые множества. Тогда
- [math]\displaystyle{ \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i) }[/math].
Определение 3. Пусть теперь [math]\displaystyle{ f }[/math] — неотрицательная функция, то есть [math]\displaystyle{ f(x) \geqslant 0\; \forall x\in X }[/math]. Рассмотрим все простые функции [math]\displaystyle{ \{f_s\} }[/math], такие что [math]\displaystyle{ f_s(x) \leqslant f(x)\; \forall x\in X }[/math]. Обозначим это семейство [math]\displaystyle{ \mathcal{P}_f }[/math]. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от [math]\displaystyle{ f }[/math] задаётся формулой:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\} }[/math]
Наконец, если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:
- [math]\displaystyle{ f(x) = f^+(x) - f^-(x), }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x)) }[/math].
Определение 4. Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx) }[/math].
Определение 5. Пусть наконец [math]\displaystyle{ A \in \mathcal{F} }[/math] произвольное измеримое множество. Тогда по определению
- [math]\displaystyle{ \int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_A(x) }[/math] — индикатор-функция множества [math]\displaystyle{ A }[/math].
Пример
Рассмотрим функцию Дирихле [math]\displaystyle{ f(x) \equiv \chi_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x) }[/math], заданную на [math]\displaystyle{ ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathcal{B}([0,1]) }[/math] — борелевская σ-алгебра на [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], а [math]\displaystyle{ m }[/math] — мера Лебега. Эта функция принимает значение [math]\displaystyle{ 1 }[/math] в рациональных точках и [math]\displaystyle{ 0 }[/math] в иррациональных. Легко увидеть, что [math]\displaystyle{ f }[/math] не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0. }[/math]
Действительно, мера отрезка [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна [math]\displaystyle{ 1-0=1 }[/math].
Замечания
- Так как [math]\displaystyle{ |f(x)| = f^+(x) + f^-(x) }[/math], измеримая функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция [math]\displaystyle{ |f(x)| }[/math] интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
- В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
- Если функция определена на вероятностном пространстве [math]\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) }[/math] и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.
Свойства
- Интеграл Лебега линеен, то есть
- [math]\displaystyle{ \int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx) }[/math],
- где [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math] — произвольные константы;
- Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если [math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(x) \leqslant g(x) }[/math] почти всюду, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] измерима и [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] интегрируема, то интегрируема и [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], и более того
- [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leqslant \int\limits_X g(x)\, \mu(dx) }[/math];
- Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) }[/math] почти всюду, то
- [math]\displaystyle{ \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx) }[/math].
Интегральные суммы Лебега
Интегральными суммами Лебега для функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и меры [math]\displaystyle{ \mu }[/math] называются суммы вида
- [math]\displaystyle{ S = \sum_{k=1}^N y_k \cdot \mu\{x\in X: y_k \lt f(x) \leqslant y_{k+1}\} }[/math],
где [math]\displaystyle{ y_1\lt y_2\lt \dots \lt y_N }[/math] — разбиение области значений функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].
Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] - в каждой точке она принимает одно из значений [math]\displaystyle{ y_1, y_2, \dots, y_N }[/math] (а именно, [math]\displaystyle{ y_k }[/math] на подмножестве [math]\displaystyle{ \{x\in X: y_k \lt f(x) \leqslant y_{k+1}\} }[/math]). Поэтому, если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда [math]\displaystyle{ y_1\rightarrow -\infty }[/math], [math]\displaystyle{ y_N\rightarrow +\infty }[/math], и диаметр разбиения [math]\displaystyle{ \delta = \max\{y_2-y_1, \dots, y_N-y_{N-1}\} }[/math] стремится к нулю.
Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:
- [math]\displaystyle{ F(y) = \mu\{x\in X: f(x)\leqslant y \} }[/math]
Тогда интегральные суммы Лебега для функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и меры [math]\displaystyle{ \mu }[/math] становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции [math]\displaystyle{ y }[/math] и функции распределения [math]\displaystyle{ F(y) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ S = \sum_{k=1}^N y_k (F(y_{k+1}) - F(y_k)) \rightarrow \int\limits_{-\infty}^{+\infty}y dF(y) }[/math].
Если функция распределения [math]\displaystyle{ F(y) }[/math] имеет плотность: [math]\displaystyle{ dF(y) = \rho(y)dy }[/math], то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:
- [math]\displaystyle{ S = \sum_{k=1}^N y_k \rho(y_k)(y_{k+1} - y_k) \rightarrow \int\limits_{-\infty}^{+\infty}y\rho(y) dy }[/math].
Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).
Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций
Примечания
- ↑ Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
- Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М.: ГУПИМПР, 1961. — 173 с.
Для улучшения этой статьи желательно: |