Плотное множество

Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, [math]\displaystyle{ A }[/math] плотно в [math]\displaystyle{ X }[/math], если всякая окрестность любой точки [math]\displaystyle{ x }[/math] из [math]\displaystyle{ X }[/math] содержит элемент из [math]\displaystyle{ A }[/math].

Определения

Пусть даны топологическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math] и два подмножества [math]\displaystyle{ A,B\subset X. }[/math] Тогда множество [math]\displaystyle{ A }[/math] называется плотным во множестве [math]\displaystyle{ B }[/math], если любая окрестность любой точки [math]\displaystyle{ B }[/math] содержит хотя бы одну точку из [math]\displaystyle{ A }[/math], то есть

[math]\displaystyle{ \forall x \in B \; \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \varnothing\bigr). }[/math]

Множество [math]\displaystyle{ A }[/math] называется всюду плотным, если оно плотно в [math]\displaystyle{ X. }[/math]

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

Множество [math]\displaystyle{ A }[/math] плотно в [math]\displaystyle{ B }[/math] тогда и только тогда, когда замыкание [math]\displaystyle{ A }[/math] содержит [math]\displaystyle{ B }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \bar{A} \supset B }[/math]. В частности, [math]\displaystyle{ A }[/math] всюду плотно, если [math]\displaystyle{ \bar{A} = B }[/math].
Множество [math]\displaystyle{ A }[/math] плотно в [math]\displaystyle{ B }[/math] тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к [math]\displaystyle{ A }[/math] не пересекается с [math]\displaystyle{ B }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \left(A^{\complement}\right)^0 \cap B = \emptyset }[/math]. В частности, [math]\displaystyle{ A }[/math] всюду плотно, если [math]\displaystyle{ \left(A^{\complement}\right)^0 = \emptyset }[/math].

Примеры

Множество рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] плотно в пространстве вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

См. также

Литература

Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология Архивная копия от 19 февраля 2012 на Wayback Machine. Учебник в задачах (рус., англ.)