Категория Бэра
Категория Бэра — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества. Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.
Названа в честь французского математика Рене-Луи Бэра.
Определения
- Топологические пространства, допускающие счётное покрытие нигде не плотными подмножествами, относятся к пространствам первой категории Бэра, не допускающие такого покрытия — к пространствам второй категории Бэра.
- Подмножество топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], которое можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных в [math]\displaystyle{ X }[/math] множеств, называется множеством первой категории Бэра в пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math].
- Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории Бэра в пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math].
- Топологическое пространство, в котором любое множество первой категории не содержит внутренних точек, называется пространством Бэра.
Свойства
Для целей анализа удобно, когда рассматриваемое пространство относится ко второй категории Бэра, так как отнесение к этой категории равносильно справедливости теорем существования, таких как:
- Если пространство второй категории Бэра покрыто счётным семейством замкнутых множеств, то хотя бы одно из них имеет внутреннюю точку (теорема существования внутренней точки).
- В пространстве второй категории Бэра всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств имеет непустое пересечение (теорема существования общей точки).
Если всё-таки пространство относится к первой категории Бэра, из этого можно получить лишь результаты отрицательного характера — например, всякая метрика на этом пространстве, совместимая с топологией, неполна, а замыкание любого (непустого) открытого подмножества некомпактно. По этой причине, например, пространство многочленов неполно в любой метрике, в которой оно является топологическим векторным пространством (счётномерное векторное пространство во всякой векторной топологии относится к первой категории Бэра).
Применение категорий Бэра к подмножествам заданного топологического пространства имеет смысл, если объемлющее пространство относится ко второй категории Бэра (иначе все подмножества будут первой категории в данном пространстве). Грубо говоря, множества первой категории считаются «маленькими» («тощими»), а второй — «большими» («тучными»).
В этом смысле понятие категории напоминает понятие меры, однако в отличие от меры, категория подмножества зависит только от топологии объемлющего пространства.
Это делает удобным её применение в пространствах без естественно определённой меры. Например, используя категорию, можно придать точный смысл таким понятиям, как «почти все компактные выпуклые подмножества евклидова пространства».
Теорема Бэра
Теорема. Полные метрические пространства и локально компактные хаусдорфовы пространства относятся к пространствам второй категории Бэра.
Для доказательства достаточно показать, что всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств [math]\displaystyle{ G_k\;(k=1,\;2,\;\ldots) }[/math] имеет непустое пересечение.
В случае полного метрического пространства индуктивно строится последовательность шаров [math]\displaystyle{ B_k }[/math] такая, что при каждом [math]\displaystyle{ k }[/math] [math]\displaystyle{ \bar{B}_{k+1}\subset B_k\cap G_k }[/math] и радиус шара [math]\displaystyle{ B_k }[/math] был бы меньше, чем [math]\displaystyle{ 2^{-k} }[/math]. Последовательность стягивающихся замкнутых шаров имеет непустое пересечение в силу полноты пространства, и общая точка этих шаров будет общей и для множеств [math]\displaystyle{ G_k }[/math].
В случае локально компактного хаусдорфова пространства индуктивно строится последовательность открытых множеств [math]\displaystyle{ B_k }[/math] такая, что при каждом [math]\displaystyle{ k }[/math] [math]\displaystyle{ \bar{B}_{k+1}\subset B_k\cap G_k }[/math] и замыкание множества [math]\displaystyle{ B_k }[/math] компактно. Тогда последовательность множеств [math]\displaystyle{ \bar B_k }[/math] образует центрированную систему замкнутых подмножеств в компактном хаусдорфовом пространстве [math]\displaystyle{ \bar{B}_1 }[/math] и потому имеет непустое пересечение.
Пример. В качестве приложения категорий Бэра, можно показать, что множество иррациональных точек [math]\displaystyle{ \R\setminus\Q }[/math] не может быть множеством всех точек разрыва никакой функции на числовой прямой. Множество всех точек разрыва любой функции [math]\displaystyle{ f }[/math] на [math]\displaystyle{ \R }[/math] является счётным объединением замкнутых множеств [math]\displaystyle{ E_n }[/math], состоящих из тех точек, в которых колебание функции [math]\displaystyle{ f }[/math] не меньше, чем [math]\displaystyle{ 1/n }[/math]. Если бы искомая функция существовала, множества [math]\displaystyle{ E_n }[/math] были бы нигде не плотными, так как их объединение не имеет внутренних точек. Из этого получалось бы, что множество [math]\displaystyle{ \R\setminus\Q }[/math] первой категории в [math]\displaystyle{ \R }[/math], а так как его дополнение тоже имеет первую категорию, то и всё пространство [math]\displaystyle{ \R }[/math] было бы первой категории, что противоречит его полноте.
См. также
Ссылки
- Окстоби Дж. Мера и категория. — Перев. с англ. — М.: Мир, 1974. — 157 с.