Ортонормированная система
Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.
Определение
Для любых элементов этой системы [math]\displaystyle{ \varphi_i, \varphi_j }[/math] скалярное произведение [math]\displaystyle{ (\varphi_i, \varphi_j) = \delta_{ij} }[/math], где [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math] — символ Кронекера:
- [math]\displaystyle{ \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1, & i=j \\ 0, & i \ne j \end{matrix}\right. }[/math]
Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента [math]\displaystyle{ \vec a }[/math] может быть вычислено по формулам: [math]\displaystyle{ \vec a = \sum_{k} \alpha_i \varphi_i }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha_i = (\vec a, \varphi_i) }[/math].
Примеры
- В конечномерном пространстве [math]\displaystyle{ R^n }[/math] ортонормированной системой будет набор векторов:
- [math]\displaystyle{ e_1=(1,0,\dots,0),e_2=(0,1,0,\dots,0),\dots, e_n=(0,0,\dots,0,1) }[/math].
- В пространстве [math]\displaystyle{ L^2[0,l] }[/math] ортонормированной системой будет множество функций:
- [math]\displaystyle{ \varphi_k(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin k\frac{\pi}{l}x }[/math].
Более того, эта система функций также будет ортонормированным базисом в пространстве [math]\displaystyle{ L^2[0,l] }[/math].
- В пространстве [math]\displaystyle{ L^2[0,1] }[/math] система функций Радемахера является ортонормированной.
Ортогонализация
По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
См. также