Замыкание (алгебра)

В общей алгебре замыкание множества относительно заданного набора алгебраических операций — минимально возможное (то есть не содержащее других подобных) расширение заданного множества, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы. Минимальное расширение всегда будет существовать как пересечение всех описанных расширений.

Формально, пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — подмножество носителя [math]\displaystyle{ A }[/math] некоторой алгебры [math]\displaystyle{ \mathfrak A = \langle A, \Sigma \rangle }[/math]. Тогда замыканием множества [math]\displaystyle{ M }[/math] относительно сигнатуры [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] называется минимальная подалгебра [math]\displaystyle{ \langle A_0, \Sigma \rangle \subseteq \mathfrak A }[/math], содержащая [math]\displaystyle{ M }[/math] ([math]\displaystyle{ M \subseteq A_0 }[/math]).

Примеры:

Замыканием множества [math]\displaystyle{ \{1\} }[/math] относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math].
Замыканием множества [math]\displaystyle{ \{1\} }[/math] относительно операций сложения и вычитания будет множество всех целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math],
Замыкание множества [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math] относительно сложения, умножения или обеих операций вместе совпадает с ним самим.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций).

Примеры:

Подгруппа замкнута относительно групповой операции.
Подмножество натуральных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] в множестве целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] замкнуто относительно операции сложения, но не является замкнутым относительно операции вычитания.

См. также