Перейти к содержанию

Дельтоид

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
На чертеже слева дельтоид выпуклый, справа — невыпуклый.

Дельто́ид (от др.-греч. δελτοειδής — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта) — четырёхугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары равных смежных сторон.

Свойства

Свойства дельтоида
Вписанная и вневписанная окружности выпуклого дельтоида [math]\displaystyle{ ABCD }[/math].
  • Углы между сторонами неравной длины равны.
  • Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон (см. рисунок).
  • Для любого невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон, и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух бо́льших сторон.
  • Точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам.
  • Другая диагональ является биссектрисой углов.
  • Одна диагональ делит дельтоид на два равных треугольника.
  • Другая диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый, и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он невыпуклый.

Площадь дельтоида

Здесь приведены формулы, свойственные именно дельтоиду. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
[math]\displaystyle{ S = \dfrac{d_{1}d_{2}}{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ d_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ d_2 }[/math] — длины диагоналей.
[math]\displaystyle{ S={a b \sin\alpha} }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — длины неравных сторон, а [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — угол между ними.
[math]\displaystyle{ S = \left(a+b\right)r }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — длины неравных сторон, а [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус вписанной окружности.
[math]\displaystyle{ S = \dfrac{1}{2}a^2\sin \varphi_1 + \dfrac{1}{2}b^2\sin \varphi_2 }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — длины неравных сторон, а [math]\displaystyle{ \varphi_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi_2 }[/math] — углы между равными сторонами соответственно.

Частные случаи

  • Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то вокруг него можно описать окружность (вписанный дельтоид).
  • Если пара противоположных сторон дельтоида равна, то такой дельтоид является ромбом.
  • Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

Разное