Шестнадцатиугольник

Правильный шестнадцатиугольник
Углы	16
Символ Шлефли	{16}, t{8}, tt{4}

Шестнадцатиугольник, гексадекагон ― многоугольник с 16 углами и 16 сторонами. Как правило, шестнадцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны. В случае шестнадцатиугольника углы равны 157°30′.

Правильный шестнадцатиугольник

Формулы

Площадь правильного шестнадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

[math]\displaystyle{ S = 4a^2 \left(1+\sqrt{2}+\sqrt{ 4+2\sqrt{2} }\right) = 4a^2 \cdot \cot(\tfrac{\pi}{16}) \approx 20,109358 \,a^2 }[/math]

Или, при радиусе описанной окружности R:

[math]\displaystyle{ S = 4R^2\sqrt{2-\sqrt{2}} = 8R^2 \cdot \sin(\tfrac{\pi}{8}) \approx 3,061467 \,R^2 }[/math]

Или, при радиусе вписанной окружности r:

[math]\displaystyle{ S = 16r^2 \cdot \tan(\tfrac{\pi}{16}) \approx 3,182598 \,r^2 }[/math]

Центральный угол правильного шестнадцатиугольника равен 22°30′.

Построение

Поскольку 16 ― это степень двойки, правильный шестнадцатиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля:

Разбиение

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольник (в общем случае - [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольный зоногон) можно разбить на [math]\displaystyle{ \frac{m(m-1)}{2} }[/math] ромбов. Для шестнадцатиугольника [math]\displaystyle{ m=8 }[/math], так что он может быть разбит на 28 ромбов.

Разбиение правильного шестнадцатиугольника

Неправильные шестнадцатиугольники

Неправильным шестнадцатиугольником является октаграмма:

Шестнадцатиугольники в искусстве

Башня на картине Рафаэля Санти

В начале XVI века Рафаэль Санти впервые построил перспективное изображение правильного шестнадцатиугольника: башня на его картине «Обручение Девы Марии» имеет 16 сторон.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hexadecagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.