Диагональ

A’C и B’D' — примеры диагоналей в кубе

Диагона́ль (греч. διαγώνιος; от δια- «через» + γώνια «угол») — в элементарной геометрии отрезок, соединяющий несмежные вершины многоугольника или многогранника. По аналогии используется также при наглядном описании квадратных матриц, в теории множеств и теории графов.

Многоугольники и многогранники

Шестиугольник с диагоналями

Для многоугольников диагональ — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины. Так, четырёхугольник имеет две диагонали, соединяющие противолежащие вершины. У выпуклого многоугольника диагонали проходят внутри него. Многоугольник выпуклый тогда и только тогда, когда его диагонали лежат внутри.

Пусть [math]\displaystyle{ n }[/math] — число вершин многоугольника, вычислим [math]\displaystyle{ d }[/math] — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести [math]\displaystyle{ n-3 }[/math] диагонали; перемножим это на число вершин

[math]\displaystyle{ (n - 3) \times n }[/math],

однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца) — отсюда,

[math]\displaystyle{ d= \frac{n^2-3n}{2}. }[/math]

Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Так, на изображении куба отмечена диагональ [math]\displaystyle{ A'C }[/math]. Отрезок же [math]\displaystyle{ B'D' }[/math] диагональю куба не является (но является диагональю одной из его граней).

Аналогично можно определить диагональ и для многогранников в пространствах бо́льших размерностей.

Матрицы

В случае с квадратными матрицами, главная диагональ является диагональной линией элементов, которая проходит с северо-запада на юго-восток. Например, единичная матрица может быть описана, как матрица, имеющая единицы на главной диагонали и нули вне её.

Наддиагональными элементами называются такие, что лежат выше и правее главной диагонали. Поддиагональными — те, что ниже и левее. Диагональная матрица — такая матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. наддиагональные и поддиагональные) равны нулю.

Диагональ с юго-запада на северо-восток часто называется побочной диагональю.

Теория множеств

По аналогии, подмножество декартового произведения X×X произвольного множества X на само себя, состоящее из пар элементов (x, x), называется диагональю множества. Это — единичное отношение, оно играет важную роль в геометрии: например, константные элементы отображения F с X в X могут быть получены сечением F с диагональю множества X.

Ссылки

• Диагонали многоугольника Архивная копия от 30 октября 2006 на Wayback Machine с интерактивными анимациями
• Диагонали многоугольника Архивная копия от 12 октября 2006 на Wayback Machine с MathWorld.
• Диагонали Архивная копия от 12 ноября 2006 на Wayback Machine матриц от MathWorld.