Правильный семиугольник

Семиугольник
Правильный семиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	7
Символ Шлефли	{7}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D7)
Площадь	[math]\displaystyle{ \frac{7}{4} t^2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{7}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{7} }[/math] [math]\displaystyle{ = 7 r^2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{7} }[/math].
Внутренний угол	≈128.571°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный, изотоксальный

Правильный семиугольник — это правильный многоугольник с семью сторонами.

Свойства

Построение правильного семиугольника с помощью невсиса

Пусть [math]\displaystyle{ t }[/math] — сторона семиугольника, [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус описанной окружности, [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус вписанной окружности.

[math]\displaystyle{ t = 2R \sin \frac{\pi}{7} = 2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{7} ~;~ r = R \cos \frac{\pi}{7} }[/math],

Периметр правильного семиугольника равен

[math]\displaystyle{ P = 7 t = 14 R \sin \frac{\pi}{7} = 14 r \operatorname{tg} \frac{\pi}{7} }[/math].

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

[math]\displaystyle{ S = \frac{7}{4} t^2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} }[/math],

[math]\displaystyle{ S = \frac{7}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{7} }[/math],

[math]\displaystyle{ S = 7 r^2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{7} }[/math].

Построение

Приближённое построение правильного семиугольника

Точное

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат PQRO со стороной a (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром O и радиусом OQ. Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) a и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок AB, который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

Приближённое

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки [math]\displaystyle{ A }[/math] на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу [math]\displaystyle{ BOC }[/math]. Отрезок [math]\displaystyle{ BD = {1 \over 2}BC }[/math] и даст искомое приближение.

Анимация приближённого построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.

Семиугольные звёзды

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

• 
  Семиугольная звезда 7/2
• 
  Семиугольная звезда 7/3

Применение

Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы. Семиугольный кант аналогичной криволинейной формы имеет круглая монета номиналом в 10 киргизских сом.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.