Двадцатичетырёхугольник

Правильный двадцатичетырёхугольник

Углы	24
Символ Шлефли	{24}, t{12}, tt{6}, ttt{3}

Двадцатичетырёхугольник, икоситетрагон ― многоугольник с 24 углами и 24 сторонами. Как правило, двадцатичетырёхугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае двадцатичетырёхугольника углы равны 165°).

Правильный двадцатичетырёхугольник

Правильный двадцатичетырёхугольник имеет 252 диагонали.

Площадь

Площадь правильного двадцатичетырёхугольника со стороной a находится по формуле:

[math]\displaystyle{ S = 6a^2 (2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}) = 6a^2 \cdot \cot(\tfrac{\pi}{24}) \approx 45,57452 \,a^2 }[/math]

Или, при радиусе описанной окружности R:

[math]\displaystyle{ S = 12R^2 \cdot \sin(15^\circ) \approx 3,10583 \,R^2 }[/math]

Или, при радиусе вписанной окружности r:

[math]\displaystyle{ S = 24r^2 \cdot \tan(\tfrac{\pi}{24}) \approx 3,15966 \,r^2 }[/math]

Центральный угол правильного двадцатичетырёхугольника равен 15°.

Построение

Поскольку 24 = 2³×3, правильный двадцатичетырёхугольник можно построить с помощью линейки и циркуля.^[1]

Разбиение

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольник (в общем случае - [math]\displaystyle{ 2m }[/math]-угольный зоногон) можно разбить на [math]\displaystyle{ \frac{m(m-1)}{2} }[/math] ромбов. Для двадцатичетырёхугольника [math]\displaystyle{ m=12 }[/math], так что он может быть разбит на 66 ромбов.