Теорема Бойяи — Гервина

Теорема Бойяи — Гервина утверждает, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Треугольник и квадрат, составленные из эквивалентного множества многоугольников

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] — два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники [math]\displaystyle{ A_1,A_2,\dots,A_n }[/math] и [math]\displaystyle{ B_1,B_2,\dots,B_n }[/math], так что для любого [math]\displaystyle{ i\in \{1,\dots,n\} }[/math] многоугольник [math]\displaystyle{ A_i }[/math] конгруэнтен [math]\displaystyle{ B_i }[/math].

Схема доказательства

Главным фактом, используемым в доказательстве, является транзитивность равносоставленности, то есть утверждение о том, что если многоугольник [math]\displaystyle{ P }[/math] равносоставлен [math]\displaystyle{ Q }[/math] и многоугольник [math]\displaystyle{ Q }[/math] равносоставлен [math]\displaystyle{ R }[/math], то [math]\displaystyle{ P }[/math] равносоставлен [math]\displaystyle{ R }[/math]. Это утверждение очевидно, если рассмотреть разбиение многоугольника [math]\displaystyle{ Q }[/math] одновременно по всей совокупности разделяющих линий, определяющих его разбиение при обоих переходах [math]\displaystyle{ P \to Q }[/math] и [math]\displaystyle{ Q \to R }[/math].

Пользуясь этой леммой, теорему можно свести к более простой:

Любой многоугольник равносоставлен прямоугольнику той же площади с единичной высотой.

Последнее утверждение доказывается пошагово сведением задачи к разным частным случаям. Во-первых, рассматривается триангуляция многоугольника, что позволяет свести задачу к аналогичному утверждению только для треугольников (получившиеся прямоугольники можно будет просто соединить ввиду одинаковой высоты). Далее треугольник через отсечение верхней части, разбиении её на две части по линии высоты и приклеивание их по бокам к нижней части оказывается равносоставлен некоторому прямоугольнику.

Последним шагом в доказательстве теоремы является доказательство равносоставленности любых двух прямоугольников одинаковой площади. Это достигается через указание равносоставленности всех параллелограммов с одинаковой длиной основания, и через преобразование таким образом одного прямоугольника в параллелограмм с длиной боковой стороны, равной одной из сторон второго прямоугольника.

Замечания

• Понятие равносоставленности в этой теореме отличается от равносоставленности в парадоксе удвоения шара, где позволяется «разрезать» на произвольные непересекающиеся подмножества.
• Аналогичная теорема в трёхмерном Евклидовом пространстве уже не верна, этот вопрос является третьей проблемой Гильберта.

История

Теорема о равновеликих треугольниках, которая позже стала известна как теорема Бойяи — Гервина, была доказана в 1807 году Уоллесом.. Теорема названа в честь Уильяма Уоллеса, Фаркаша Бояи и Пола Гервина. Называется 1833-й год , как вероятный год, когда Пол Гервин независимо от Бояи и Уильяма Уоллеса доказал выше указанную теорему.

Литература

• В. Г. Болтянский, А. Н. Савин. Равновеликие и равносоставленные фигуры. — Гостехиздат, 1956. — 64 с. — (Популярные лекции по математике, Выпуск 22).
• В. Г. Болтянский. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с.