Описанный четырёхугольник
В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.
Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.
Специальные случаи
Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными [1]. Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется бицентральным .
Свойства
В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности[2].
Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:
- [math]\displaystyle{ a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s. }[/math]
Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным. [3][4][2]
Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющемся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда [2]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle BE+BF=DE+DF }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ \displaystyle AE-EC=AF-FC. }[/math]
Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта . Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).
Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга[5].
Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда [6]
- [math]\displaystyle{ \tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}. }[/math]
Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда
- [math]\displaystyle{ R_aR_c=R_bR_d }[/math],
где Ra, Rb, Rc, Rd являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны [7].
Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.
Специальные отрезки
Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.
Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.
Площадь
Нетригонометрические формулы
Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой
- [math]\displaystyle{ S = r \cdot p }[/math],
где p — полупериметр и r — радиус вписанной окружности. Ещё одна формула[8]
- [math]\displaystyle{ S = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2} }[/math],
дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.
Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь [1]
- [math]\displaystyle{ S=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}. }[/math]
Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h[9]
- [math]\displaystyle{ S=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}. }[/math]
Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, [10] получаем, что максимальная площадь [math]\displaystyle{ \sqrt{abcd} }[/math] может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.
Тригонометрические формулы
Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных сторон [8][11][12][13]
- [math]\displaystyle{ S = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}. }[/math]
Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае [math]\displaystyle{ S = \sqrt{abcd} }[/math], поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ[14].
Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла[12]
- [math]\displaystyle{ S=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin\frac{A+C}{2} }[/math],
где O является центром вписанной окружности.
Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов [8]
- [math]\displaystyle{ S=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}. }[/math]
Есть ещё одна формула[8]
- [math]\displaystyle{ S=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|, }[/math]
где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.
Неравенства
Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству
- [math]\displaystyle{ S\le\sqrt{abcd} }[/math]
и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным .
Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр p описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству
- [math]\displaystyle{ p\ge 4r }[/math],
где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. [15] Это означает, что для площади S = pr, выполняется неравенство
- [math]\displaystyle{ S\ge 4r^2 }[/math]
с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.
Свойства частей четырёхугольника
Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.
Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентр[2].
Радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой [8]
- [math]\displaystyle{ r=\frac{S}{p}=\frac{S}{a+c}=\frac{S}{b+d} }[/math],
где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.
В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности [16][17].
- [math]\displaystyle{ \displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}. }[/math]
Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то
- [math]\displaystyle{ r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv) }[/math][18].
Формулы для углов
Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам[1]
- [math]\displaystyle{ \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(e + f)(e + g)(e + h)}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(f + e)(f + g)(f + h)}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(g + e)(g + f)(g + h)}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin{\frac{D}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(h + e)(h + f)(h + g)}}. }[/math]
Угол между хордами KM и LN задаётся формулой[1](см. рисунок)
- [math]\displaystyle{ \sin{\varphi}=\sqrt{\frac{(e + f + g + h)(efg + fgh + ghe + hef)}{(e + f)(f + g)(g + h)(h + e)}}. }[/math]
Диагонали
Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равны[19]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}. }[/math]
Хорды точек касания
Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны[1]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}, }[/math]
где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению [1]
- [math]\displaystyle{ \frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}. }[/math]
Две хорды
- перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан [20].
- имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидом[21].
Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA[22].
Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных [math]\displaystyle{ \tfrac{BM}{DN} }[/math] равно отношению [math]\displaystyle{ \tfrac{BP}{DP} }[/math] отрезков диагонали BD.[23]
Коллинеарные точки
Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M3 — середина отрезка EF, тогда точки M3, M1, O, и M2 лежат на одной прямой[24] Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.
Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямой[25]
Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если TM, TK, TN, TL являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТM = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых TNTM и TKTL. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника[26].
В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть HM, HK, HN, HL являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, HM, HK, HN и HL лежат на одной прямой.[12]
Конкурентные и перпендикулярные прямые
Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке).[13] Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.
Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.[12]
Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружности[27].
Свойства вписанной окружности
Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих вершин[12]
- [math]\displaystyle{ \frac{AB}{CD}=\frac{OA\cdot OB}{OC\cdot OD},\quad\quad \frac{BC}{DA}=\frac{OB\cdot OC}{OD\cdot OA}. }[/math]
Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению[28]
- [math]\displaystyle{ AB\cdot BC=OB^2+\frac{OA\cdot OB\cdot OC}{OD}. }[/math]
Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то[12]
- [math]\displaystyle{ OA\cdot OC+OB\cdot OD=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}. }[/math]
Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда[12]
- [math]\displaystyle{ OA\cdot OC=OB\cdot OD. }[/math]
Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то[12][29]
- [math]\displaystyle{ \frac{OM_1}{OM_2}=\frac{OA\cdot OC}{OB\cdot OD}=\frac{e+g}{f+h}, }[/math]
где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.
Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым[30][31] (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса [math]\displaystyle{ \sqrt{abcd}/s }[/math], где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.
Свойства четырёх внутренних треугольников
Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.
Пусть r1, r2, r3 и r4 означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда[32]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}. }[/math]
Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном[33][34]. В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через hM, hK, hN и hL обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда [6][34]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{h_M}+\frac{1}{h_N}=\frac{1}{h_K}+\frac{1}{h_L}. }[/math]
Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей rM, rK, rN и rL для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда [35]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{r_M}+\frac{1}{r_N}=\frac{1}{r_K}+\frac{1}{r_L}. }[/math]
Если RM, RK, RN и RL — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда [36]
- [math]\displaystyle{ R_M+R_N=R_K+R_L. }[/math]
В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах[37]. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник [38]. Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника[39].
Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности[40] (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если Rm, Rn, Rk и Rl — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет [41]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{R_m}+\frac{1}{R_n}=\frac{1}{R_k}+\frac{1}{R_l}. }[/math]
Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда [6]
- [math]\displaystyle{ \frac{m}{\triangle(APB)}+\frac{n}{\triangle(CPD)}=\frac{k}{\triangle(BPC)}+\frac{l}{\triangle(DPA)} }[/math]
где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.
Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = pa и PC = pc. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = pb и PD = pd. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:[42]
- [math]\displaystyle{ mp_cp_d + np_aq_b = kp_ap_d + lp_cp_b }[/math]
или [38]
- [math]\displaystyle{ \frac{(p_a+p_b-m)(p_c+p_d-n)}{(p_a+p_b+m)(p_c+p_d+n)}=\frac{(p_c+p_b-k)(p_a+p_d-l)}{(p_c+p_b+k)(p_a+p_d+l)} }[/math]
или[43]
- [math]\displaystyle{ \frac{(m+p_a-p_b)(n+p_c-p_d)}{(m-p_a+p_b)(n-p_c+p_d)}=\frac{(k+p_c-p_b)(l+p_a-p_d)}{(k-p_c+p_b)(l-p_a+p_d)}. }[/math]
Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника
Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны[44].
Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда[20][25]
- хорда MN перпендикулярна KL
- [math]\displaystyle{ \frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{AC}{BD}=\frac{AM+CN}{BK+DL} }[/math]
Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.
Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон[45].
Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:[46]
- Площадь равна половине произведения диагоналей
- Диагонали перпендикулярны
- Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
- Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
- Средние линии имеют одинаковые длины
- Произведения противоположных сторон равны
- Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.
См. также
- Описанная окружность
- Внекасательный четырёхугольник
- Описанная трапеция
- Вписанная в треугольник окружность
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Josefsson, 2010a, с. 119–130.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Andreescu, Enescu, 2006, с. 64–68.
- ↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, §146.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 65.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 66.
- ↑ 6,0 6,1 6,2 Minculete, 2009, с. 113–118.
- ↑ Josefsson, 2012, с. 72.
- ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 Durell, Robson, 2003, с. 28–30.
- ↑ Josefsson, 2010a, с. 128.
- ↑ Hajja, 2008, с. 103–106.
- ↑ Siddons, Hughes, 1929, с. 203.
- ↑ 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 Grinberg, Darij, Circumscribed quadrilaterals revisited, 2008 . Дата обращения: 1 апреля 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ 13,0 13,1 Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1] (недоступная ссылка), 1998, pp. 156–157.
- ↑ Hoyt, 1986, с. 54–56.
- ↑ Post at Art of Problem Solving, 2012 . Дата обращения: 1 апреля 2015. Архивировано 20 февраля 2014 года.
- ↑ Hajja, 2008, с. 103–106б Lemma2.
- ↑ Hoyt, 1984, с. 239, 242.
- ↑ Josefsson, 2010b, с. 27–34.
- ↑ Hajja, 2008, с. Lemma3.
- ↑ 20,0 20,1 Josefsson, 2010a, с. 124.
- ↑ Josefsson, 2011a, с. 166.
- ↑ Josefsson, 2011c, с. 162.
- ↑ Gutierrez, Antonio, "Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion", [2] Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine, Accessed 2012-04-09.
- ↑ Andreescu, Enescu, 2006, с. 42.
- ↑ 25,0 25,1 Josefsson, 2010c, с. Cor.3.
- ↑ Myakishev, 2006, с. 289–295.
- ↑ Josefsson, 2010c, с. Cor.4.
- ↑ "Ineq-G126 - Geometry - very nice!!!!", Post at Art of Problem Solving, 2011, [3]
- ↑ "Determine ratio OM/ON", Post at Art of Problem Solving, 2011
- ↑ Barton, 1926, с. 462–465.
- ↑ Bogomolny.
- ↑ Chao, Simeonov, 2000, с. 657–658.
- ↑ Josefsson, 2011a, с. 169.
- ↑ 34,0 34,1 Вайнштейн, Васильев, Сендеров, 1995, с. 27–28.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 70.
- ↑ Josefsson, 2012b, с. 23–24.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 72-73.
- ↑ 38,0 38,1 Josefsson, 2011b, с. 74.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 73.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 79.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 80.
- ↑ Hoehn, 2011, с. 211–212.
- ↑ Josefsson, 2011b, с. 77.
- ↑ De Villiers, 2011, с. 102–107.
- ↑ Hess, 2014, с. 392-393.
- ↑ Josefsson, 2011a, с. 165–174.
Ссылки
- Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.
- Helen. On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly. — 1926. — Т. 33, вып. 9. — .
- Alexander Bogomolny. When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
- C.V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.
- Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // Mathematical Gazette. — 2010. — Вып. 94, November.
- Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14.
- Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вып. 7. — doi:10.2307/2589133.
- Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.
Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11.
- John P. Hoyt. Quickies, Q694 // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57, вып. 4.
- John P. Hoyt. Maximizing the Area of a Trapezium // American Mathematical Monthly. — 1986. — Т. 93, вып. 1. — doi:10.2307/2322549.
- Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10.
Martin Josefsson. On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10.
- Martin Josefsson. Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010c. — Т. 10.
- Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11.
- Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11.
- Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11.
- Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.
- Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12.
- Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9.
- Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.
- A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.
- И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6.
- Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вып. 95, March.
Внешние ссылки
- Weisstein, Eric W. Tangential Quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Для улучшения этой статьи желательно: |