Совершенная степень

Демонстрация палочками Кюизенера природы совершенной степени чисел 4, 8 и 9.

Совершенная степень — положительное целое число [math]\displaystyle{ n }[/math], являющееся целой степенью [math]\displaystyle{ k }[/math] положительного целого числа [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ n=m^k }[/math]. При [math]\displaystyle{ k=2,3 }[/math] число [math]\displaystyle{ n }[/math] называется соответственно совершенным (полным) квадратом и совершенным кубом. Иногда числа 0 и 1 также считаются совершенными степенями (так как [math]\displaystyle{ 0^k = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ 1^k=1 }[/math] для любого [math]\displaystyle{ k \gt 0 }[/math]).

Последовательность совершенных степеней может быть сформирована путём перебора возможных значений для [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math]; первые несколько её членов (включая повторяющиеся):

[math]\displaystyle{ 2^2 = 4,\ 2^3 = 8,\ 3^2 = 9,\ 2^4 = 16,\ 4^2 = 16,\ 5^2 = 25,\ 3^3 = 27, }[/math] [math]\displaystyle{ 2^5 = 32,\ 6^2 = 36,\ 7^2 = 49,\ 2^6 = 64,\ 4^3 = 64,\ 8^2 = 64, \dots }[/math]

Первые совершенные степени без дубликатов таковы:

(иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Свойства

Сумма обратных совершенных степеней (включая дубликаты, такие как [math]\displaystyle{ 3^4 = 9^2 = 81 }[/math]) равна 1:

[math]\displaystyle{ \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}=1 }[/math],

что можно доказать следующим образом:

[math]\displaystyle{ \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k} =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k} =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right) =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)} =\sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} \right) = 1 }[/math].

Сумма ряда обратных величин совершенных степеней (не включая единицу) без дубликатов равна:

[math]\displaystyle{ \sum_i\frac{1}{n_i}=\sum_{k=2}^{\infty}\mu(k)(1-\zeta(k)) \approx 0{,}874464368 \dots }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mu(k) }[/math] — функция Мёбиуса, а [math]\displaystyle{ \zeta(k) }[/math] — дзета-функция Римана.

Согласно Эйлеру, в одном из утерянных писем Гольдбах показал, что сумма чисел, обратных [math]\displaystyle{ n_i-1 }[/math] из последовательности совершенных степеней [math]\displaystyle{ \{n_i\} }[/math] без единицы и дубликатов равна 1:

[math]\displaystyle{ \sum_{i}\frac{1}{n_i-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1 }[/math],

иногда это утверждение называется теоремой Гольдбаха — Эйлера.

В 2002 году Преда Михэйлеску доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это [math]\displaystyle{ 2^3 = 8, 3^2 = 9 }[/math], тем самым доказав гипотезу Каталана.

Нерешённая проблема — гипотеза Пиллаи, согласно которой для любого заданного положительного целого числа [math]\displaystyle{ k }[/math] существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна [math]\displaystyle{ k }[/math].

Выявление совершенных степеней

Выявление того, является ли данное натуральное число [math]\displaystyle{ n }[/math] совершенной степенью, может быть выполнено множеством различных способов с различными уровнями сложности. Один из простейших таких методов — рассмотреть все возможные значения для [math]\displaystyle{ k }[/math] по каждому из делителей числа [math]\displaystyle{ n }[/math] вплоть до [math]\displaystyle{ k \lt n }[/math]. Если делители [math]\displaystyle{ n }[/math] равны [math]\displaystyle{ n_1, n_2, \dots, n_j }[/math], тогда одно из значений [math]\displaystyle{ n_1^2, n_2^2, \dots, n_j^2, n_1^3, n_2^3, \dots }[/math] должно быть равно [math]\displaystyle{ n }[/math], если [math]\displaystyle{ n }[/math] действительно является совершенной степенью.

Этот метод можно сразу упростить, вместо этого рассматривая только простые значения [math]\displaystyle{ k }[/math], поскольку для составного [math]\displaystyle{ k = ap }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое число, [math]\displaystyle{ n = m^k }[/math] может быть переписано как [math]\displaystyle{ n = m^k = m^{ap} = (m^a)^p }[/math]. Из-за этого следует, что минимальное значение [math]\displaystyle{ k }[/math] обязательно должно быть простым.

Если известна полная факторизация [math]\displaystyle{ n }[/math], например, [math]\displaystyle{ n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r} }[/math], где [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — различные простые числа, то [math]\displaystyle{ n }[/math] — совершенная степень тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \gcd (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r)\gt 1 }[/math] ([math]\displaystyle{ \gcd }[/math] — наибольший общий делитель). Например, для [math]\displaystyle{ n = 2^{9624} }[/math]: поскольку [math]\displaystyle{ \gcd (96, 60, 24) = 12 }[/math], [math]\displaystyle{ n }[/math] — это совершенная 12-я степень (и совершенная 6-я степень, 4-я степень, куб и квадрат, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).

Ссылки

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)