Пирамидальное число

Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: [math]\displaystyle{ \Pi^{(4)}_4 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 }[/math].

• Пятиугольное пирамидальное число.
• Шестиугольное пирамидальное число.
• Семиугольное пирамидальное число.

Определение

Пирамидальные числа определяются следующим образом.

[math]\displaystyle{ n }[/math]-е по порядку [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольное пирамидальное число [math]\displaystyle{ \Pi^{(k)}_n }[/math] есть сумма первых [math]\displaystyle{ n }[/math] плоских фигурных чисел [math]\displaystyle{ P^{(k)}_n }[/math] с тем же числом углов [math]\displaystyle{ k }[/math]: [math]\displaystyle{ \Pi^{(k)}_n = P^{(k)}_1 + P^{(k)}_2 + P^{(k)}_3 + \dots + P^{(k)}_n }[/math]

Геометрически пирамидальное число [math]\displaystyle{ \Pi^{(k)}_n }[/math] можно представить как пирамиду из [math]\displaystyle{ n }[/math] слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до [math]\displaystyle{ P^{(k)}_n }[/math] (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду:

[math]\displaystyle{ \Pi^{(k)}_n = \frac{n(n+1) ((k-2)n - k + 5)}{6} }[/math]

(ОПФ)

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

[math]\displaystyle{ \Pi^{(k)}_n = \frac{(k-2)n - k + 5}{3} P^{(3)}_n = \frac {n+1}{6} (2 P^{(k)}_n + n) }[/math]

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

• Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
• Figurate Numbers Архивная копия от 10 июня 2019 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)
• Centered Polygonal Number Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)