Сфеническое число

Сфеническое число (англ. sphenic number, от др.-греч. σφήνα — «клин») — натуральное число, равное произведению трёх различных простых чисел (так, например, [math]\displaystyle{ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 }[/math]; соответственно, число 30 является сфеническим).

Свойства

• Количество делителей произвольного сфенического числа всегда равно 8. Например, если [math]\displaystyle{ n = p \cdot q \cdot r }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ q }[/math] и [math]\displaystyle{ r }[/math] — разные простые числа, то делителями [math]\displaystyle{ n }[/math] будут [math]\displaystyle{ \left\{ 1, \ p, \ q, \ r, \ pq, \ pr, \ qr, \ n \right\} }[/math]. Так первое сфеническое число 30 имеет делители 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30.
  • Обратное, вообще говоря, неверно: например, числа вида [math]\displaystyle{ n = p^3 \cdot q }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] — разные простые числа, также имеют 8 делителей [math]\displaystyle{ \left\{ 1, \ p, \ p^2, \ p^3, \ q, \ pq, \ p^2q, \ n \right\} }[/math], но не являются сфеническими.

• Функция Мёбиуса произвольного сфенического числа равна −1.

Примеры

Сфенические числа образуют последовательность (A007304 в OEIS):

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, …

В частности:

• [math]\displaystyle{ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 }[/math]
• [math]\displaystyle{ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 }[/math]
• [math]\displaystyle{ 66 = 2 \cdot 3 \cdot 11 }[/math]
• [math]\displaystyle{ 70 = 2 \cdot 5 \cdot 7 }[/math]
• [math]\displaystyle{ 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13 }[/math]
• [math]\displaystyle{ ... }[/math]

Примером двух последовательных сфенических чисел являются 230 (230 = 2 · 5 · 23) и 231 (231 = 3 · 7 · 11). Примером трёх последовательных сфенических чисел являются 1309 (1309 = 7 · 11 · 17), 1310 (1310 = 2 · 5 · 131) и 1311 (1311 = 3 · 19 · 23). Более чем трёх последовательных сфенических чисел быть не может, поскольку каждое четвёртое натуральное число будет делиться на 4.

Наибольшим известным сфеническим числом является (2^82589933 − 1) · (2^77232917 − 1) · (2^74207281 − 1), произведение трёх крупнейших известных простых чисел (на 07.06.2019).

См. также

• Полупростое число — число, представимое произведением двух различных простых чисел.