Числа Леонардо

Числа Леонардо — последовательность чисел, задаваемая зависимостью:

[math]\displaystyle{ L(n):= \begin{cases} 1 & \text{если } n = 0; \\ 1 & \text{если } n = 1; \\ L(n-1)+L(n-2)+1 & \text{если } n \gt 1. \\ \end{cases} }[/math]

Эдсгер Дейкстра использовал их как составную часть своего алгоритма плавной сортировки, и изучил их некоторые особенности.

Взаимосвязь с числами Фибоначчи

Числа Леонардо связаны с числами Фибоначчи через формулу[math]\displaystyle{ L(n) = 2 F(n+1) - 1, n \geqslant 0 }[/math].

Из этой формулы прямо следует выражение для чисел Леонардо, аналогичное формуле Бине для чисел Фибоначчи:

[math]\displaystyle{ L(n) = 2 \frac{\varphi^{n+1} - (1-\varphi)^{n+1}}{\varphi - (1-\varphi)} - 1 = \frac{2}{\sqrt 5} \left(\varphi^{n+1} - (1-\varphi)^{n+1}\right) - 1 }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varphi=(1+\sqrt 5)/2 }[/math] является золотым сечением, и кроме того [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ 1-\varphi=(1-\sqrt 5)/2 }[/math] являются корнями квадратного уравнения [math]\displaystyle{ x^2-x-1=0. }[/math]

Первые двадцать членов последовательности чисел Леонардо таковы:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 —

последовательность A001595 в OEIS

отношение соседних чисел леонардо, так же, как и соседних чисел фибоначчи, стремится к золотому сечению