Гипотеза Каталана
Гипо́теза Катала́на (теорема Михэйлеску) — теоретико-числовое утверждение, согласно которому уравнение:
- [math]\displaystyle{ x^a - y^b = 1 \quad (x, y, a, b \gt 1) }[/math]
имеет единственное решение в натуральных числах: [math]\displaystyle{ x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3 }[/math]. Иными словами, кроме [math]\displaystyle{ 2^3 = 8 }[/math] и [math]\displaystyle{ 3^2 = 9 }[/math] не существует других последовательных совершенных степеней натуральных чисел.
Сформулирована Эженом Каталаном в 1844 году[1][2], доказана 2002 году Предой Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu)[3].
Обобщением гипотезы Каталана является гипотеза Пиллаи, недоказанная по состоянию на 2021 год.
Примечания
- ↑ E. Catalan. Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur (фр.) // J. Reine Angew. Math.. — 1844. — Vol. 27, no 192. — P. 165–186.
- ↑ Стюарт, 2015, с. 170.
- ↑ P. Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture (англ.) // J. Reine angew. Math.. — 2004. — Vol. 572, no. 572. — P. 167–195. — doi:10.1515/crll.2004.048.
Литература
- В. Сендеров, Б. Френкин. «Гипотеза Каталана». — Квант, 2007. — № 4.
- Jeanine Daems. A cyclotomic proof of Catalan's conjecture.
- Yuri F. Bilu. Catalan's conjecture (after Mihailescu). — 2002.
- Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Catalan's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.