Избыточные числа

Избы́точное число́ — положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n.

Любое натуральное число относится к одному из трёх классов:

• избыточные числа,
• совершенные числа,
• недостаточные числа.

Избыточные числа (последовательность A005101 в OEIS):

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …

Число 48, например, является избыточным, поскольку 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.

Наименьшим избыточным числом является 12. Наименьшим нечётным избыточным числом является 945.

Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.

Индексом избыточности называется величина [math]\displaystyle{ I(N)=\sigma(N)/N }[/math], где [math]\displaystyle{ \sigma(N) }[/math] — сумма делителей числа (для совершенных чисел [math]\displaystyle{ I(N)=2 }[/math] .

Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность [math]\displaystyle{ \{a_k\} }[/math] минимальных чисел [math]\displaystyle{ N }[/math], таких что [math]\displaystyle{ I(N)\gt k }[/math] — последовательность A134716 в OEIS.

Советский математик Лев Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

См. также

• Сверхизбыточное число
• Совершенное число
• Полусовершенное число
• Недостаточные числа
• Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
• Слегка недостаточные числа
• Дружественные числа
• Магические числа (физика)