Прямоугольное число

Прямоуго́льное число́ — число, которое является произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеет вид [math]\displaystyle{ R_n = n(n+1), }[/math] где [math]\displaystyle{ n\geqslant 1.. }[/math] В части источников также допускается случай [math]\displaystyle{ R_0 = 0; }[/math] данная статья нумерует числа с 1, если не оговорено иное.

Значение прямоугольного числа имеет простой геометрический смысл — оно равно площади прямоугольника шириной [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] и высотой [math]\displaystyle{ n. }[/math] Поэтому многие источники относят прямоугольные числа к классу фигурных чисел, тем более что они тесно связаны с другими разновидностями чисел этого класса.

Начало последовательности прямоугольных чисел:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, … (последовательность A002378 в OEIS)

1×2	2×3	3×4	4×5

Свойства

Все прямоугольные числа чётны, поэтому все они, кроме числа 2, являются составными.

Среднее арифметическое двух последовательных прямоугольных чисел является квадратным числом:

[math]\displaystyle{ \frac{R_n + R_{n+1}}{2} = (n+1)^2 }[/math]

Другими словами, между последовательными прямоугольными числами всегда содержится полный квадрат, причём только один (поскольку [math]\displaystyle{ n^2 \lt R_n \lt (n+1)^2 \lt R_{n+1} \lt (n+2)^2 }[/math]).

Прямоугольное число 4×5 составлено из двух одинаковых треугольных чисел

[math]\displaystyle{ n }[/math]-е по порядку прямоугольное число равно удвоенному [math]\displaystyle{ n }[/math]-му треугольному числу и на [math]\displaystyle{ n }[/math] больше [math]\displaystyle{ n }[/math]-го квадратного числа:

[math]\displaystyle{ R_n = 2 T_n = n^2+n }[/math]

Поскольку треугольное число [math]\displaystyle{ T_n=1+2+3+ \ldots + n, }[/math] то вдвое большее прямоугольное число [math]\displaystyle{ R_n }[/math] равно сумме первых [math]\displaystyle{ n }[/math] чётных чисел.

Из того, что последовательные целые числа взаимно просты, следует:

• Каждый простой делитель прямоугольного числа может встретиться только в одном из множителей.
• Прямоугольные числа свободны от квадратов тогда и только тогда, когда свободны от квадратов как [math]\displaystyle{ n, }[/math] так и [math]\displaystyle{ n+1. }[/math]
• Число различных простых делителей прямоугольного числа есть сумма числа различных простых делителей [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ n+1. }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lfloor{\sqrt{n}}\rfloor \cdot \lceil{\sqrt{n}}\rceil = n. }[/math] Здесь уголки Айверсона[math]\displaystyle{ \lfloor{x}\rfloor }[/math] округляют [math]\displaystyle{ x }[/math] до целого в меньшую сторону, а [math]\displaystyle{ \lceil{x}\rceil }[/math] — в бо́льшую.

Сумма [math]\displaystyle{ R_n + C^{(6)}_{n+1} }[/math] есть квадратное число [math]\displaystyle{ (2n+1)^2, }[/math] где [math]\displaystyle{ C^{(6)}_{n+1} }[/math] обозначает [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]-е по порядку центрированное шестиугольное число.

Ряд из обратных прямоугольных чисел относится к категории телескопических рядов и поэтому сходится:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1. }[/math]

Применение

Прямоугольное число [math]\displaystyle{ R_n }[/math] задаёт:

• число недиагональных элементов квадратной матрицы [math]\displaystyle{ n\times n }[/math];
• число размещений из [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] элементов по 2;
  • в частности, число рёбер, соединяющих (различные) вершины ориентированного графа с [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math] вершинами (например, общее число писем, которые могут отправить друг другу, по одному, [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math] абонент).

Если приписать к каждому прямоугольному числу, включая 0, справа 25, получится последовательность квадратов чисел, оканчивающихся на 5:

[math]\displaystyle{ 025=5^2,\ 225=15^2,\ 625=25^2,\ 1225=35^2,\ 2025=45^2,\ 3025=55^2, \ldots }[/math]

Это следует из формулы:

[math]\displaystyle{ (10n+5)^2 = 100n(n+1) + 25. }[/math]

Производящая функция

Производящая функция последовательности прямоугольных чисел:

[math]\displaystyle{ \frac{2x}{(1-x)^3} = 2x + 6x^2 + 12x^3 + 20x^4 + \ldots }[/math]

Литература

• Conway, J. H. & Guy, R. K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, с. 33—34 .
• Dickson, L. E. (2005), Divisibility and Primality, History of the Theory of Numbers, vol. 1, New York: Dover, с. 357 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pronic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Oblong numbers на сайте Fun With Num3ers  (англ.).