Число торта
В математике число торта, обозначаемое Cn, — это максимальное число областей, на которое может быть поделён трёхмерный куб количеством n плоскостей. Число торта называется именно так, потому что можно представить, что плоскости — это разрезы, сделанные ножом в торте, имеющем форму куба.
Значение Cn для возрастающих n ≥ 0 даются следующим рядом: 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, 1160, 1351, 1562, 1794, 2048, 2325, 2626, 2952, 3304, 3683, 4090, 4526, 4992, 5489, 6018, 6580, 7176, 7807, 8474, 9178, 9920, 10701, 11522, 12384, 13288, 14235, 15226, …[1]
Число торта является трёхмерным аналогом двухмерных центральных многоугольных чисел; последовательность, образованная разностью между двумя последовательно расположенными числами торта, представляет собой последовательность центральных многоугольных чисел.
Общая формула
Если n! обозначает факториал, и мы обозначим биноминальные коэффициенты как
- [math]\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!} , }[/math]
принимая, что n плоскостей делят куб, то число торта таково: [2]
- [math]\displaystyle{ C_n = {n \choose 3} + {n \choose 2} + {n \choose 1} + {n \choose 0} = \frac{1}{6}(n^3 + 5n + 6). }[/math]
Примечания
- ↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000125: Cake Numbers. Дата обращения: 19 августа 2010.
- ↑ Eric Weisstein. Space Division by Planes. Дата обращения: 19 августа 2010.